![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования российской федерации
- •Содержание.
- •Глава I. Множества.
- •1.1. Определения и обозначения.
- •1.2. Операции над множествами.
- •1.3. Свойства операций
- •1.4. Мощность множества.
- •1.5. Прямое произведение множеств.
- •Глава II. Отношения, функции, алгебраические
- •2.1. Бинарные отношения.
- •2.2. Функции.
- •2.3. Алгебраические структуры и морфизмы.
- •Отношение конгруэнтности позволяет определить так называемую фактор-структуру, носителем которой является множество классов эквивалентности. Приведём примеры.
- •Контрольные вопросы
- •Тест II
- •Глава III. Булевы функции.
- •3.1. Определение и основные свойства.
- •3.2 Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы
- •3.3. Упрощение д.Н.Ф.
- •Контрольные вопросы.
- •Тест III
- •Глава IV. Элементы математической логики
- •4.1. Исчисление высказываний.
- •4.2. Логическое следствие
- •4.3. Предикаты и кванторы
- •Тест IV.
- •Глава 5. Алгоритмы и машина Тьюринга.
- •5.3. Машина Тьюринга.
- •F : q a a
- •5.4. Алгоритмически неразрешимые проблемы.
- •Итоговый тест.
- •Рекомендуемая литература. Основная:
- •Дополнительная
- •Словарь основных терминов
- •Ответы к тестам
- •Зуев Юрий Анатольевич Садыкова Альбина Рифовна Математическая логика и теория алгоритмов. Теория множеств. Дискретная математика
2.2. Функции.
Если
каждому элементу множества A
поставлен в соответствии единственный
элемент множества B,
то говорят, что задано отображение из
A
в B
или функция
.
Если
,
то элементa
называется образом элемента b
, а b
-прообразом элемента a.
Функция f называется:
-
инъекцией, если из
следует
;
-
сюръекцией, если для каждого
существует
такой, что
;
- биекцией, если f является инъекцией и сюръекцией одновременно.
Для биекции fможно определить обратную функцию.
Примерами прямой и обратной функций в
математическом анализе является
иln x,
sin x
и arcsin x,
x2 и
Если
на множествах A
и B
определены отношения частичного порядка,
то функция
называется монотонной, если из
следует
.
Пусть
.
Тогда можно определить композицию
функций
g
●
,
при которой образом элемента
является
.
В курсе математического анализа подобную
функцию называют сложной функцией.
Множество всех биекций из A в A с операцией композиции образует группу. Если A -конечное n-элементное множество, то это Sn -симметрическая группа степени n.
2.3. Алгебраические структуры и морфизмы.
n-арной
операцией на множестве А
называется отображение
,
которое каждому упорядоченному набору
длины n
из элементов множества А
сопоставляет некоторый вполне определённый
элемент этого же множества.
Множество Авместе с набором заданных на нём операций,
где
называется алгебраической структурой
или просто алгеброй. При этом множествАназывается носителем структуры,
а набор операций
-
сигнатурой. Чаще всего встречаются
операции, арность которой равна2,
бинарные. Таковы, в частности, обычные
операции сложения и умножения на числовых
множествах. Известными алгебраическими
структурами являются группы, кольца,
поля.
Подмножество
называется системой образующих, если
любой элемент А
может быть получен из А
с помощью операций сигнатуры. Так, в
алгебре
натуральных чисел с операцией сложения
(полугруппе) один элемент1
– является образующим, а в алгебре
натуральных чисел с операцией умножения
(моноиде) системой образующих является
множество простых чисел и единица.
Пусть
имеются две алгебры
и
,
причем арность соответствующих операций
одинакова.
Определение.
Отображение
называется гомоморфизм изA
в B
, если оно сохраняет все операции
сигнатуры, то есть
.
Еслиf
- биекция, то гомоморфизм называется
изоморфизмом.
С
алгебраической точки зрения изоморфные
алгебраические структуры неразличимы.
Примером изоморфизма алгебраических
структур является алгебра
множества действительных чисел с
операцией сложения (группа) и алгебра
положительных действительных чисел с
операцией умножения (группа). Биективным
отображением
устанавливающим изоморфизм является
функция
,
так как
.
На данном изоморфизме основано, в
частности, выполнение умножения с
помощью логарифмической линейки, так
как обратное отображение
задается логарифмической функцией
и
.
В
качестве примера гомоморфизма
алгебраических структур, не являющегося
изоморфизмом, можно привести алгебру
квадратных матриц заданного порядка n
над полем действительных чисел с
операцией умножения матриц (моноид) и
алгебру действительных чисел с операцией
умножения (моноид). Отображением, задающим
гомоморфизм из множества матриц в
множество чисел, является операция
вычисления определителя квадратной
матрицы:
.
Гомоморфизм называется:
мономорфизмом, если f - инъекция;
эпиморфизмом, если f - сюръекция;
эндоморфизмом, если f - отображает носитель
структуры на себя;
автоморфизмом, если f - биективный эндоморфизм.
Примером
автоморфизма группы является операция
сопряжения с помощью фиксированного
элемента
,
так как
.
Пусть
задана некоторая алгебраическая
структура
Отношение эквивалентностиR
на множестве A
называется отношением конгруэнтности,
если оно согласовано со всеми операциями
сигнатуры в следующем смысле:
из
следует
R
.
Другими словами, класс эквивалентности, в который попадает результат любой операции сигнатуры, полностью определяется классами, из которых берутся аргументы операции.