59. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Абсолютная сходимость

Ряд называетсяабсолютно сходящимся, если рядтакже сходится. Если рядсходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Условная сходимость

Ряд называетсяусловно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

59. Сходимость функциональных последовательностей и рядов.

Функциональный ряд— ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция.

Функциональная последовательность

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве включенном в d-мерное евклидово пространство.

Поточечная сходимость

Функциональная последовательность сходится поточечно к функции, если.

Равномерная сходимость

Существует функция такая, что:

Факт равномерной сходимости последовательности к функциизаписывается:

Функциональный ряд

— n-ная частичная сумма.

Сходимость

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность его частичных сум м сходится равномерно.

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для последовательности . Чтобы последовательность функций, определенных на множестве, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякогосуществовал номер, такой, что при всехбольше либо равныходновременно для всехвыполнялось неравенство

59. Степенные ряды. Теорема Абеля и следствие из неё. Радиус и интеграл сходимости.

Степенные ряды

Функциональный ряд вида (гдеx₀и- заданные числа) называется степенным рядом. Степенной ряд сходится в точкеx=x₀всегда. Задача - исследовать степенной ряд на сходимость. С помощью заменыt=x−x₀данный степенной ряд можно привести к виду- сходится приt= 0.

Теорема Абеля. Пусть степенной ряд сходится в какой-то точке. Тогда этот ряд сходится(абсолютно).

Доказательство.Рядсходится в точкеx₁в обычном смыслесходитсячисловая последовательностьсходится к нулюограничена, то есть

Рассмотрим . Обозначим

Рассмотрим :сходится, следовательно числовой ряд(для фиксированногоx) сходится по признаку сравнениясходится абсолютно на множестве |x| < |x₁|

Следствие.Если степенной ряд расходится в точкеx₂, то этот ряд расходится .

Определение.Если R - неотричательное число или обладает тем свойством, что степенной рядсходится на множестве| x | < R и расходится на множестве | x | > R, то R называется радиусом сходимости данного степенного ряда. В этом случае интервал ( − R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного рядка может не совпадать с интервалом сходимости, так как может включаться точка

Теорема.У всякго степенного ряда есть радиус сходимости.

Доказательство.ПустьA- множество всех неотрицательных чисел, в которых степенной рядсходится.

Так как ряд сходится в точке (возможно равная). ОбозначимR=supA. Докажем, чтоR- радиус сходимости степенного ряда.

Фиксируем по определению точной верхней гранимчислотак какряд сходится в точкепо теореме Абеля ряд сходится на множестве |x| <c, в частности в точкеx. Так какx- любая точка, такая чторяд сходится на множестве |x| <R.

Фиксируем число в |x| >b>Rтакое что. То есть степенной ряд расходится в точкестепенной ряд расходится в точкеx(по следствию из теоремы Абеля)ряд расходится на множестве |x| >R. СледовательноR= supA- радиус сходимости степенного ряда.

   Пример 1

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение. Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид . Вычислим радиус сходимости:

     

Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞).

   Пример 2

Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение. Вычислим радиус сходимости:

     

Рассмотрим сходимость в конечных точках. Если x = −1, то мы имеем расходящийся ряд . Еслиx = 1, то ряд также расходится. Следовательно, исходный рядсходится на открытом интервале (− 1; 1).

   Пример 3

Найти радиус и интервал сходимости ряда      

Решение. Здесь и. Радиус сходимости будет равен

В точке x = −1 мы имеем сходящийся ряд . Приx = 1 получаем расходящийся гармонический ряд . Таким образом, заданный ряд сходитсясходится на полуоткрытом интервале [− 1; 1).