Признак Раабе.

Пусть- знакоположительный числовой ряд. Если, то числовой ряд расходится, если, то ряд сходится. Признак Раабе обычно применяется тогда, когда рассмотренные выше достаточные признаки сходимости числовых рядов не приводят к результату.

59. Признак Коши (радикальный). Радикальный признак Коши.

Пусть- знакоположительный числовой ряд. Если, то числовой ряд сходится, если, то ряд расходится.Замечание.Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если, то ряд сходится, если, то ряд расходится. Если, то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование. Обычно достаточно легко разглядеть случаи, когда лучше всего использовать радикальный признак Коши. Характерным является случай, когда общий член числового ряда представляет собой показательно степенное выражение. Рассмотрим несколько примеров.Пример1.Исследовать знакоположительный числовой рядна сходимость с помощью радикального признака Коши.Решение. Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как. По радикальному признаку Коши получаем. Следовательно, ряд сходится.Пример2. Сходится ли числовой рядРешение. Воспользуемся радикальным признаком Коши, следовательно, числовой ряд сходится.

59. Знакочередующиеся ряды и теорема Лейбница, оценка суммы остатка ряда.

Теорема Лейбница

Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия:

Доказательство

Допустим, что ряд начинается с положительного числа (в противном случае по приведённому ниже доказательству следует рассматривать сходимость ряда, начинающегося со второго члена).

2n-ая частичная сумма данного ряда равна

Так как каждая сумма в скобках неположительна и то отсюда следуетограниченность2n-ой частичной суммы сверху числом

= где— конечное число. Доказательство сходимости завершено.

Следствие

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда:

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

Доказательство

Последовательность монотонно возрастающая, так кака выражениенеотрицательно при любом целомПоследовательностьмонотонно убывает, так кака выражение в скобках неотрицательно. Как уже доказано при доказательстве самой теоремы Лейбница, у обеих этих последовательностей —и— совпадающий предел приТак полученои такжеОтсюдаиИтак, для любоговыполняетсячто и требовалось доказать.

59. Ряды с членами разных знаков, критерий Коши. Исследование знакопеременных рядов на абсолютную сходимость.

Проще всего исследовать знакопеременный числовой рядна абсолютную сходимость. В этом случае берем знакоположительный ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применяем к нему подходящий достаточный признак сходимости из рассмотренных выше. Если рядсходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.Пример. Докажите, что знакопеременный числовой рядабсолютно сходится.Решение. Соответствующих знакоположительный ряд будет иметь вид. Для него выполняется необходимое условие сходимости ряда, так как. Возьмем сходящийся знакоположительный ряди воспользуемся вторым признаком сравнения:. Следовательно, рядсходящийся, поэтому, исходный ряд сходится абсолютно.Расходимость знакопеременных рядов.

Если ряд расходится, то соответствующий знакопеременный рядможет, либо расходится, либо сходится условно. Только признак Даламбера и радикальный признак Коши позволяют сделать вывод о расходимости знакопеременного рядапо расходимости ряда из модулей. Рядтакже расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если.

Пример. Проверьте расходимость знакопеременного числового ряда.Решение. Модульk-огочлена имеет вид. Исследуем рядна сходимость по признаку Даламбера:. Следовательно, рядрасходится и можно утверждать, что исходный знакопеременный числовой ряд тоже расходится.

Коши.

Положительный рядсходитсятогда и только тогда, когдапоследовательностьегочастичных суммограничена сверху.

Доказательство

Необходимое условие

Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано

Достаточное условие

Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность(из членов ряда) неубывающая:

Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), следовательно ряд сходится (по определению).

Строгая формулировка

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы все отрезки этого ряда с достаточно большими номерами были сколь угодно малы. Другими словами, ряд сходится тогда и только тогда, когда

Доказательство 

Последовательность частных сумм ряда сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной, то есть

что равносильно условию так как

Фундаментальная последовательность, илисходящаяся в себе последовательность, илипоследовательность Коши—последовательностьточекметрического пространстватакая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.