Решение задачи с параметром в векторе ограничений

Сσ	Базис	А0=b		A1	A2	A3	A4	A5
0	A4	12,4		0	0	-1	1	0,2
19	A2	10,2		0	1	0	0	0,6
14	A1	5,2		1	0	2	0	-0,4
		266,6		0	0	6	0	5,8
0	A4	15		0,5	0	0	1	0
19	A2	18		1,5	1	3	0	0
0	А5	-13		-2,5	0	-5	0	1
		342	76	28,5	0	57	0	0

1. 

2. – задача неразрешима, оптимальные планы отсутствуют

3. 

4. – задача неразрешима, оптимальные планы отсутствуют

Итого мы имеем:

• 

• 

Функция выручки будет достигать своего максимума на каждом из двух участков значений при условии выполнения плана, поставленного в соответствие выбранному участку.

Геометрическая интерпретация множества допустимых планов и достижимого множества

Требуется дать геометрическую интерпретацию для задач «выручка» и «себестоимость».

Выручка

Себестоимость

Для отображения на плоскости задачи приводятся к двум переменным.

Изобразив все ограничения для данной задачи, мы получаем выпуклый многоугольник, представляющий множество допустимых планов. Функция «выручка» может принимать любое значение в пределах допустимого множества ABCD.

Рисунок 3. Геометрическая интерпретация выручка

В одной из вершин множества ABCDдолжен быть заключён оптимальный план задачи. В ходе решения симплекс методом перебираются вершины фигуры, и находится та точка, значение координат (x1,x2) которой дают наибольшее значение целевой функции. Для графического решение требуется определить направление наибольшей скорости возрастания (убывания) функции. Это направление может быть показано вектором градиента, координаты которого находятся как частные производные от целевой функции. В нашем случае вектор градиента будет иметь координатыПередвигая перпендикуляр к вектору градиента по направлению возрастания функции, мы должны упереться в точку, несущую в себе оптимальный план решения задачи. Такой точкой будет точкаИменно в этой точке мы получим максимум выручки 266,6 тысяч рублей при заданных ресурсных ограничениях. При изменении цен в пределах интервала оптимальности будет меняться направление вектора градиента, но оптимальный план останется в той же точке. При изменении вектора ресурсов в пределах интервала устойчивости будет меняться область допустимых значений, но вектор градиента сохранит своё направление. Возможные значения функции «выручка» при изменении цен и ресурсных ограничений мы рассмотрели при решении задач с параметрами.

Для задачи «себестоимость» принцип графического отображения будет схожим.

В данном случае максимальное значение функции (мы привели её к виду на максимум) будет достигнуто в точке Тогда, подставив эти значения в функцию, мы получим. Меняем знак, получаем минимальное значение себестоимости при существующих ограничениях = 108 тысяч рублей. Такое значение может быть достигнуто при полном отказе от производства первых двух видов продукции, при этом мы потратим на третий продукт весь ресурсR3 (необходимо потратить по условию).