Задание №8

Выполняя п. 6 и 7 , исследовать работоспособность различных методов оценки ошибок решения (выражения (7), (12), (13)) при наличии возмущения левой части системы.

Вывод: При внесении возмущения типа P в матрицу системы оценка ErrEst([P]) даёт точную оценку реальной ошибки (при любых возмущении), чем ErrEst([M]). ErrEst(cond) даёт точную оценку ошибки только при малых возмущениях (10³ - 10⁶). При больших возмущениях ErrEst(cond) отличается от реальной ошибки на несколько порядков. ErrEst([M]) при любом возмущении P даёт оценку, не соответствующую реальной ошибке. Так как каждый из способов оценки ошибки решения лучше “работает” со своим типом возмущения.

Задание №9

Применить для решения нескольких систем из пунктов 2-4 итерационные методы Якоби и Гаусса-Зейделя; проверить реализацию задаваемого критерия точности. Исследованием спектра матрицы В проверить выполнение теоремы сходимости стационарного метода; выявить взаимосвязь скорости сходимости итерационного процесса с величиной спектрального радиуса матрицы В.

Тип	Обусловл.	Метод решения	Спектральный радиус	Количество итераций
1	1.175*101	Якоби	0	4
	1.175*101	Гаусса-Зейделя	0	4
4	1.307*101	Якоби	6.454*10-1	63
	1.307*101	Гаусса-Зейделя	9.424*10-1	424
6	5.756*101	Якоби	0	2
	5.756*101	Гаусса-Зейделя	0	2
13	1.191*107	Якоби	5.21	-
	1.191*107	Гаусса-Зейделя	2.58	-

Вывод: У хорошо обусловленных матриц количество итераций ограничено. А решение с плохо обусловленными матрицами не сходится. Теорема о сходимости стационарного метода выполняется: метод Якоби сходится тогда и только тогда, когда спектральный радиус меньше единицы. Чем больше спектральный радиус, тем меньше радиус сходимости.

Задание №10

Провести исследование влияния вида доминирования матрицы задачи на сходимость процедур Якоби и Гаусса-Зейделя.

Тип матрицы	Метод решения	Спектральный радиус	Количество итераций
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1	Якоби	0	4
	Гаусса-Зейделя	0	2
3 0 0 0 0 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 7	Якоби	0	2
	Гаусса-Зейделя	0	2
62 56 34 49 46 39 52 54 57 43 47 41 65 35 61 38	Якоби	3.260	-
	Гаусса-Зейделя	1.390	-

Вывод: Для произвольной матрицы (без явного доминирования) метод Якоби и Гаусса-Зейделя не даёт результата (т.к. спектральный радиус больше единицы). Для нижней треугольной матрицы метод Гаусса-Зейделя находит решение за меньшее количество итераций, чем метод Якоби. Так как метод Гаусса-Зейделя представляет матрицу в виде суммы нижней, верхней и диагональной треугольной матрицы.