2. Показатели степени вариации

Показатели вариации используются для оценки рассеяния значений признака. К таким показателям относятся:

• размах вариации;

• среднее линейное отклонение;

• дисперсия;

• среднее квадратическое отклонение;

• коэффициент вариации.

1. Размах вариации

Размах вариации (R) используется для определения амплитуды:

где

x_max – наибольшее значение варьирующего признака;

x_min – наименьшее значение варьирующего признака.

Для того чтобы размах вариации не давал искажённую амплитуду, совокупность следует очистить от аномальных наблюдений. Например, для полученных значений

35,5; 42,6; 38,7; 887,3; 36,1; 32,9; 40,4; 37,6

значение 887,3 является аномальным, а амплитуда равна: 42,6 - 32,9 = 9,7

2. Среднее линейное отклонение

Среднее линейное отклонение (d) – это среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней величины.

Среднее линейное отклонение для несгруппированных данных:

Среднее линейное отклонение для сгруппированных данных:

где

x_i – значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении;

m_i – частота признака;

n – количество вариантов.

Среднее линейное отклонение выражено в тех же единицах измерения, что и варианты.

4.1.2.3. Дисперсия

Для того чтобы избежать равенства нулю суммы отклонений от среднего, используют квадраты абсолютных значений. Такая мера вариации называется дисперсией (d или ²).

Дисперсия для несгруппированных данных:

Дисперсия для сгруппированных данных:

Существуют различные способы упрощения вычислений дисперсии. Одним из них является следующий:

4.1.2.4. Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение () показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения. Среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же единицах, что и варьирующий признак и вычисляется извлечением квадратного корня из дисперсии. Среднее квадратическое отклонение называется также нормированным или стандартизированным.

Среднее квадратическое отклонение для несгруппированных данных:

Среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных:

4.1.2.5. Коэффициент вариации

Коэффициент вариации (V) даёт относительную оценку вариации. Он вычисляется путём сопоставления среднего линейного или среднего квадратического отклонения со средним уровнем явления:

Пример 19. Вычисление показателей вариации для дискретного вариационного ряда

Рассчитать показатели вариации для распределения сотрудников по тарифным разрядам.

Тарифный разряд	Число сотрудников, чел
2	11	22	-2,09	23,04	48,24
3	18	54	-1,09	19,69	21,55
4	22	88	-0,09	2,07	0,19
5	20	100	0,91	18,12	16,41
6	14	84	1,91	26,68	50,85
Итого	85	348		89,60	137,25

Средняя арифметическая:

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент вариации:

или

Пример 20. Вычисление показателей вариации для интервального вариационного ряда с равной длиной интервалов

Рассчитать показатели вариации для распределения сотрудников по возрастным группам.

Возраст- ные группы сотрудни- ков, лет	Число сотруд- ников, чел	Середина интерва-ла, xiср
20 – 30	11	25	275	-16,24	178,59	2899,43
30 – 40	33	35	1155	-6,24	205,76	1283,00
40 – 50	22	45	990	3,76	82,82	311,81
50 – 60	15	55	825	13,76	206,47	2842,01
60 – 70	4	65	260	23,76	95,06	2259,04
Итого	85		3505		768,71	9595,29

Средняя арифметическая:

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия:

Коэффициент вариации:

Среднее квадратическое отклонение:

или