4.1.2.6.3. Правило сложения дисперсий для доли признака

Правило сложения дисперсий доли признака: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой.

где

- общая дисперсия

- групповая дисперсия доли признака

- средняя из групповых дисперсий, т.е. внутригрупповая дисперсия

- межгрупповая дисперсия

- доля изучаемого признака во всей совокупности (определяется по формуле средней арифметической взвешенной)

n_i – численность единиц в отдельных группах.

Пример 22. Определение дисперсии доли

Определить дисперсию доли сотрудников с высшим образованием по данным, представленным в таблице 32.

Таблица 18. Сведения о сотрудниках с высшим образованием

Номер магазина	Число сотрудников, чел ni	Число сотрудников с высшим образованием			Группо- вые диспер- сии
		в %	в долях, pi
1	43	40,2	0,402	17,286	0,240	10,337	0,917
2	47	43,5	0,435	20,445	0,246	11,551	0,601
3	90	55,7	0,557	50,13	0,247	22,208	0,007
4	36	35,4	0,354	12,744	0,229	8,233	1,355
5	150	70,8	0,708	106,2	0,207	31,010	3,838
6	90	57,6	0,576	51,84	0,244	21,980	0,070
7	34	29,1	0,291	9,894	0,206	7,015	2,246
Итого	490			268,539		112,334	9,035

1 способ– найти среднюю долю сотрудников с высшим образованием по всем магазинам, а затем дисперсию этой доли.

Средняя доля сотрудников с высшим образованием по всем магазинам:

Общая дисперсия этой доли:

2 способ– найти среднюю из внутригрупповых дисперсий и межгрупповую дисперсию, а затем их сложить.

Групповые дисперсии для всех магазинов:

0,240

0,246

0,247

0,229

0,207

0,244

0,206

Средняя дисперсия из групповых:

Межгрупповая дисперсия:

Общая дисперсия по правилу сложения дисперсий:

Оба способа дали одинаковый результат.

4.1.3. Показатели дифференциации и концентрации

4.1.3.1. Показатели дифференциации

Квантили или градиенты – такие значения признака, которые делят все единицы распределения на равные численности.

К частным случаям квантилей относятся

• квартили,

• квинтили,

• децили.

Квартили – значения признака, делящие распределение на четыре равные части. Если обозначить значения x_i, делящие вариационный ряд на четыре равные части Q₁, Q₂ и Q₃ так, что ниже Q₁ лежит ¼ значений x_i, ниже Q₂ лежит ½ значений, а ниже Q₃ ¾ значений, то Q₁ называется нижним квартилем, Q₂ называется медианой, а Q₃ называется верхним квартилем.

	Q3 – третий квартиль (верхний квартиль)
	Q2 – второй квартиль (медиана)
	Q1 – первый квартиль (нижний квартиль)

Квинтили - значения признака, делящие распределение на пять равных частей.

Децили (De) – значения признака, делящие распределение на десять равных частей.

В дискретном ряду децили находятся на основе накопленных частот. Номер k-го дециля равен k/10 части суммы всех частот. Частоты накапливаются до тех пор, пока не будет превзойдён номер дециля. Дециль равняется частоте, соответствующей номеру дециля.

В интервальном ряду сначала находится интервал, содержащий первый дециль. Номер k-го дециля равен или. По номеру определяется интервал, которому этот номер принадлежит. Затемk-й дециль вычисляется по формуле:

где

– нижняя граница интервала, содержащего k-й дециль;

– длина интервала, содержащего k-й дециль;

– накопленная частота интервала, предшествующему интервалу, содержащему k-й дециль;

– частота интервала, содержащего k-й дециль;

– накопленная частость интервала, предшествующему интервалу, содержащему k-й дециль.

Квантили и квартили вычисляются аналогичным образом.

При изучении дифференциации доходов применяется децильный коэффициент (K_д), представляющий собой отношение девятого дециля к первому децилю. Таким образом измеряется соотношение уровней доходов 10% наиболее обеспеченного и 10% наименее обеспеченного населения.

Пример 23. Определение децильного коэффициента

Определить децильный коэффициент.

Возрастные группы сотрудников, лет xi	Число сотрудников, чел mi	Накопленные частоты
20 – 30	11	11
30 – 40	33	44
40 – 50	22	66
50 – 60	15	81
60 – 70	4	85
Итого	85

Номер первого дециля:

Интервал первого дециля: