- •Предел функции в точке.
- •Геометрический смысл.
- •Т.Е. Для всех значений х, попадающих в дельта-окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в е-окрестность величины а.
- •Свойства пределов функции в точке.
- •Предел функции и арифметические операции.
- •Предел функции и неравенства.
- •Односторонние пределы.
- •Свойства пределов.
- •Предел композиции функции.
- •Первый замечательный предел.
- •Делим полученное неравенство на r2, получаем:
- •Второй замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции (величины) и их свойства.
- •Свойства бесконечно малых величин:
- •Бесконечно большие функции (величины).
- •Свойства б/б величин.
- •Связь между б/б и б/м функциями.
- •Сравнение бесконечно малых величин.
- •Раскрытие неопределенностей.
- •Способы устранения неопределенностей.
- •Сравнение бесконечно больших величин.
- •Пределы монотонных функций.
- •Общий признак существования конечного предела. (Критерий Коши)
Свойства б/б величин.
Если одна из трех функций f(x), -f(x), f(x) является б.б. при х→х0, то и две другие функции также являются б.б. при х→х0.
Произведение б/б функции на функцию, предел которой отличен от нуля, есть б/б величина.
Сумма б/б величины и ограниченной функции есть б/б величина.
Частное от деления б/б функции на функцию, имеющую предел, есть б/б функция.
Например, функция f(x)=- является частным от деления б/б функции tg x при х→П/2 на функцию 2х+5 имеющую предел П+5 при х→П/2.
Доказательство св-ва 2. (остальные – аналогично).
Пусть f(x) – б.б. функция при х→х0, т.е. =∞ и=с (с≠0).
Докажем, что f(x)(х) - б.б. функция при х→х0.
Рассмотрим последовательность хn→x0, n→ (предполагается, что xn берутся из окрестности x0 и xn≠x0)
По условию =с (с≠0). Но тогда и=с (с≠0).
По условию f(x) – б.б. функция при х→х0, но тогда и f(xn) – б.б. функция при n→. Следовательно, f(xn)(хn) - б.б. последовательность, как произведение б.б. последовательности и последовательности, имеющей конечный, отличный от 0 предел.
Т.к. последовательность хn – любая сходящаяся к х0, то заключаем, что
Это означает, что функция f(x)(х) - б.б. функция при х→х0. ч.т.д.
Связь между б/б и б/м функциями.
Теорема. Если функция α(х) – б/м величина при х→х0 (х→∞), то функция β(х)=является б/б при х→х0 (х→∞). И наоборот, если функция β(х) – б/б величина при х→х0 (х→∞), то функция α(х)=является б/м при х→х0 (х→∞).
Доказательство. Пусть α(х) – б/м величина при х→х0 (х→∞), тогда
ε > 0 δ=δ(ε)> 0х: 0<|х–х0|<δ |α(х)|<ε
Последнее неравенство равносильно неравенству >или |β(х)|>M, где М=, т.е. β(х) – б/б. Аналогично доказывается второе утверждение.
Сравнение бесконечно малых величин.
Пусть при х→х0 функции α(х) и β(х) являются б.м., и пусть β(х)≠0 тогда
если , то α(х) называетсяб.м. более высокого порядка, чем β(х) (α(х) имеет более высокий порядок малости, чем β(х) при х→х0)
Пишут (х)=о((х)) при х→х0 (о малое)
Пример. Покажем, что при х→0 функция хk (k>1) – б.м. более высокого порядка, чем х. Действительно, =0, т.к. по условиюk>1.
если =А≠0, то α(х) и β(х) называютсяб.м. одного порядка (имеют одинаковую «скорость» стремления к 0).
Пример. Покажем, что при х→0 функции sin kx и mx (k≠0,m≠0)- б.м. одного порядка. Действительно,
если =1, то α(х) и β(х) называютсяэквивалентными б.м.: α(х)~β(х).
Пример. Покажем, что при х→0 функции sin x и tg x (k≠0,m≠0)- б.м. одного порядка. Действительно,
если =, то функцию α(х) называют б.м. более низкого порядка по сравнению с β(х) при х→х0.
если отношение не имеет придела при х→х0, то говорят, что б.м. функции α(х) и β(х) не сравнимы при х→х0.
Пример. Функции (х)=и(х)=х – б.м. при х→0. Имеем , ноне имеет предела при х→0. Значит, α(х) и β(х) не сравнимы при х→0.
если =А≠0, то α(х) называется б.м.n –го порядка относительно β(х) при х→х0. (n>0, не обязательно целое).
Из предыдущих пунктов следует, что
1) Если n=1, то функция α(х) б.м. одного порядка с β(х) при х→х0.
2) Если n>1, то функция α(х) б.м. более высокого порядка по сравнению с β(х) при х→х0.
3) Если n<1, то функция α(х) б.м. более низкого порядка по сравнению с β(х) при х→х0.
Теорема 1. Произведение двух б.м. величин является б.м. величиной более высокого порядка по сравнению с каждым из сомножителей.
Доказательство. Пусть при х→х0 функции α(х) и β(х) являются б.м., γ(х)=α(х)β(х). Докажем, что γ(х)=о(α(х)) и γ(х)=о(β(х)) при х→х0. Имеем
, а это означает, что γ(х)=о(α(х)) при х→х0.
Аналогично, , а это означает, что γ(х)=о(β(х)) при х→х0. ч.т.д.
Теорема 2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией по сравнению с каждой из них.
Доказательство. Пусть при х→х0 функции α(х) и β(х) являются б.м., и α(х)~β(х). Положим γ(х)=α(х)-β(х). Докажем, что γ(х)=о(α(х)) и γ(х)=о(β(х)) при х→х0. Имеем
, По условию, т.к. α(х)~β(х), то =1. Следовательно,=1-1=0. Значит, γ(х)=о(α(х)) при х→х0.
Аналогично, , По условию, т.к. α(х)~β(х), то=1. Следовательно,=1-1=0. Значит, γ(х)=о(β(х)) при х→х0. ч.т.д.
Теорема 3 (о замене бесконечно малых при отыскании предела отношения).
Пусть функции α(х) и β(х) являются б.м. при х→х0, и α(х)~(х), β(х) ~(х) при х→х0. Тогда если существует конечный или бесконечный предел
,
То к этому же пределу стремится при х→х0 и отношение .
Доказательство. 1) Пусть =с, где с – конечное число. Тогда очевидно следующее равенство:=
По условию, каждый из сомножителей в правой части имеет конечный предел при х→х0. Тогда ==1с1=с. Т.е. =.
2) Пусть =. Но тогда =0 (считаем, что(х)≠0).
По доказанному в пункте 1), =0=.
Значит, и в этом случае =ч.т.д.
Замечание 1. Применение теоремы 3 требует знания б.м. функций (х) и(х) эквивалентных при х→х0 бесконечно малым функциям α(х) и β(х).
1) sin x~x при х→0 (т.к. =0),
2) tg x~x, при х→0 3) 1-cos x~, при х→0
4) ln(1+x) ~x, при х→0 5) ex-1~x, при х→0
6)ax-1~xlna, при х→0 (a>0, a≠0)
7) (1+x)a-1~ax, при х→0
8) arcsin x~x, при х→0 9) arctg x~x, при х→0
Покажем, что ln(1+x) ~x, т.е. =1
===ln(т.к. функция ln x непрерывна)=ln e=1. Ч.т.д.
Замечание 2. Теорему 3 можно также применять в следующих случаях:
Если выражение под знаком предела содержит б/м величину в виде множителя, в виде отношения или в виде показателя степени, то ее можно заменить на эквивалентную ей б/м.
α(х)~β(х)