- •Предел функции в точке.
- •Геометрический смысл.
- •Т.Е. Для всех значений х, попадающих в дельта-окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в е-окрестность величины а.
- •Свойства пределов функции в точке.
- •Предел функции и арифметические операции.
- •Предел функции и неравенства.
- •Односторонние пределы.
- •Свойства пределов.
- •Предел композиции функции.
- •Первый замечательный предел.
- •Делим полученное неравенство на r2, получаем:
- •Второй замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции (величины) и их свойства.
- •Свойства бесконечно малых величин:
- •Бесконечно большие функции (величины).
- •Свойства б/б величин.
- •Связь между б/б и б/м функциями.
- •Сравнение бесконечно малых величин.
- •Раскрытие неопределенностей.
- •Способы устранения неопределенностей.
- •Сравнение бесконечно больших величин.
- •Пределы монотонных функций.
- •Общий признак существования конечного предела. (Критерий Коши)
Свойства пределов.
1. ++(+)=+
-+(-)=-
2. ++=+
-(-)=+
А=
0=0
3. =0=0 (А≠0)
[], [], [∞-∞], [1∞] - неопределенности
Предел композиции функции.
Теорема. Пусть даны функции f и φ: , х0 – предельная точка множества Х, u0– предельная точка множества U. Если выполнено условие:
1) =u0 (φ(х)≠х0)
2) =А,
То =А (х0 и u0 могут совпадать с )
Доказательство. Возьмем произвольную последовательность {xn}, xnX, xn≠x0.
xn→x0,n→. Покажем, что f(φ(xn))→A, n→.
Т.к. xn→x0,n→, φ(х)→ u0, х→х0, то φ(хn)→u0, n→.
Т.к. f(u)→A, u→u0, то возьмем последовательность un=φ(хn)→u0, n→, т.е.
f(un)=f(φ(xn))→A, n→. А это и означает, что =А ч.т.д.
Первый замечательный предел.
=1 (1)
Доказательство. Т.к. , то=,если эти пределы существуют. Поэтому достаточно установить и показать, что равен 1 хотя бы один односторонний предел. Покажем, что =1 (2). Поэтому можно рассматривать лишь значения х: 0<x<.
Рассмотрим круг с центром в точке О и радиусом R. Пусть ОВ подвижный радиус, образующий с осью Ох угол х (0<x<).
Площадь ∆АОВ меньше площади сектора АОВ, которая меньше площади прямоугольного ∆АОС.
S∆AOB<Sсек. АОВ<S∆AOC
S∆AOB=ОА∙ОВ∙sin x=R∙R∙sin x=R2∙sin x
Sсек. АОВ=R2∙x, (площадь кругового сектора, ограниченного дугой с градусной мерой : S=)
S∆AOC=AO∙OC=AO∙AС∙tg x=R2∙tg x.
Получаем R2∙sin x<R2∙x<R2∙tg x
Делим полученное неравенство на r2, получаем:
sin x<x<tg x (х) (3)
Делим полученное неравенство на sin x (sin x>0), получаем:
1<<или cos x<<1
Вычитая из 1 каждый из членов последнего неравенства, получим
0<1-<1-cos x (4)
Но 1-cos x=2sin2<2sin<x (в силу (3))
Следовательно, вместо неравенства (4) будем иметь: 0<1-<х (5)
Возьмем >0 любое, сколь угодно малое (можно считать, что <). Если положить= (>0), то х, удовлетворяющих неравенству 0<x<, будет
0<1-<
Т.к. если x<, то x<. Значит, <<, если 0<x<.
Последнее означает, что 1=. Соотношение (2) установлено, а значит доказано и (1) ч.т.д.
(Эти неравенства верны и при –<x<0, т.к. функции cos2x и четные).
Покажем, что
cos2x=1-sin2x. Покажем, что при 0<x<<1, тогда
<1sin x<x
Возьмем >0, =. 0<x<sin x<x<=. Т.е.
Тогда =1-0=1
Переходим к пределу при х→0: cos2x→1, 1→1 при х→0.
Следовательно, по теореме о пределе промежуточной функции, получим =1. Ч.т.д.
Пример. =2 (заменой (т.е. через сложную функцию) и без).
Второй замечательный предел.
=е (1) (неопределенность 1)
Число е (число Эйлера) - иррационально.
1) Докажем, что если =+, то =е.
а) Рассмотрим случай, когда все значения переменной хm являются целыми положительными числами. Возьмем >0 – любое, сколь угодно малое.
Было доказано, что =е. Значит, взятому >0 отвечает номер Nтакой, что для всех n>N<.
По условию =+, поэтому МN: m>Mxm>N. По предположению все значения переменной xm – натуральные числа. Поэтому m>M<.
А это означает, что =е. (В рассмотренном случае переменная xm не обязательно монотонно возрастающая).
б) Пусть значения переменной xm положительные числа, не обязательно целые, > 2.
Пусть m – наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству mxm. Тогда m2 и m+ при xm+. Имеем
m-1<xm<m+1>>1+>1+>1+
Тогда >>(*)
Имеем ==е1=е.
Тогда из (*) по теореме о пределе промежуточной последовательности, =е.
2) Покажем, что =е. Воспользуемся определением предела функции по Гейне.
Составим последовательность х1,…,хn - любую, но такую, чтобы xn>2 и xn+, n.
Соответствующая последовательность значений функции будет такой:
=. Было показано, что=е.
Т.к. {xn} – любая последовательность, удовлетворяющая условиям xn>2 и xn+, n, то в соответствии с определением предела функции по Гейне, =е.
3) Покажем, что =е.
Составим последовательность х1,х2,…,хn - любую, но такую, чтобы xn<-3 и xn-, n. Если положить xn=-1-yn, то yn+, n (и все yn>2). Имеем
====
Т.к. =е, а=1, то==е.
Т.к. {xn} – любая последовательность, удовлетворяющая условиям xn<-3 и xn-, n, то в соответствии с определением предела функции по Гейне, =е.
Сделав в замену переменной х на. Получим функцию.
Составим последовательность {n} - любую, но такую, чтобы n>0 и n0, n. Тогда xn=+, n и, следовательно ==e
Это значит, что =e.
Составим последовательность {n} - любую, но такую, чтобы n<0 и n0, n. Тогда xn=-, n и, следовательно ==e
Это значит, что =e.
Т.к. правый и левый пределы функции в точке=0 существуют и равны е, то у этой функции существует обычный (двусторонний) предел и он равен е.
Т.о. =е. ч.т.д.
График функции у=ех – экспонента. Пример. =е21