- •1. Гармонические колебания
- •2. Потенциальная и кинетическая энергии
- •3. Векторная диаграмма гармонического колебания
- •4. Комплексная форма представления колебаний
- •6 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •7. Гармонические осцилляторы
- •7.1. Математический маятник
- •7.2. Пружинный маятник
- •7.3. Физический маятник
- •8. Свободные затухающие колебания
- •8.1. Логарифмический декремент затухания
- •9. Вынужденные колебания
- •Распространение колебаний в однородной ciiлошной среде бегущие волны
- •Энергия волнового движения. Поток энергии. Вектор умова.
- •Плоские и сферические волны
- •Принципы гюйгенса и гюйгенса — френеля. Законы отражения и преломления волн. Дифракция
- •Интерференция волн
- •Стоячие волны
- •Кинетическая и потенциальная энергия стоячей волны.
- •Природа звука. Звуковое поле
- •Скорость звука и ее измерение
- •Отражение и преломление звука на границе двух сред.
- •Распространение звука.
- •Характеристики звука.
- •Источники звука
- •Эффект доплера
- •Акустический резонанс
- •Ультразвук
- •Инфразвук
Интерференция волн
Явление интерференции состоит в таком наложении двух (и более) волн, которое приводит к стационарному (не зависящему от времени) усилению колебаний частиц среды в одних местах и ослаблению (или полному погашению) в других местах пространства. Если в некоторой упругой среде распространяются две волны, то каждая частица среды, через
которую проходят обе волны, будет одновременно участвовать в двух независимых колебательных движениях, вызванных каждой волной. Результирующее движение частицы зависит от частот, амплитуд и начальных фаз составляющих колебаний. Однако если распространяющиеся волны имеют одинаковые частоты и если они в данной точке пространства вызывают колебания частицы вдоль одной и той же прямой, то возникает либо усиление колебаний, либо их ослабление (погашение), в зависимости от разности фаз составляющих колебаний.
В пространстве всегда найдутся такие точки, в которых разность фаз пришедших колебаний составит 2kπ (где k — целое число). Следовательно, в этих точках будет устойчивое (неизменно продолжающееся все время) усиление колебаний частиц среды. Найдутся и такие точки, в которых разность фаз пришедших колебаний будет равна (2k +1)π. В таких точках пространства будет наблюдаться устойчивое ослабление колебаний частиц среды. В результате область пространства, в которой волны накладываются одна на другую, будет представлять собой чередование участков с усиленным колебанием частиц среды и участков, где колебания частиц ослаблены или частицы вовсе не колеблются.
Понятно, что интерференционная картина возникает только при наложении таких волн, которые имеют одинаковую частоту, постоянную во времени разность фаз в каждой точке пространства и создают в каждой точке пространства колебания вдоль одной прямой. Волны, удовлетворяющие этим трем условиям (и источники, их создающие), называют когерентными.
Простейший случай интерференции наблюдается при наложении бегущей и отраженной волн. Эти волны когерентны (для них выполняются все три условия когерентности). Наложение таких волн приводит к образованию так называемой стоячей волны.
Стоячие волны
Смещение в стоячей волне. Запишем уравнения двух плоских волн, имеющих одинаковые частоты и амплитуды и распространяющихся в противоположных направлениях:
.
Суммарное смещение частицы среды с координатой х равно сумме смещений ξ1 и ξ2
или (после тригонометрических преобразований):
(1)
Это и есть уравнение стоячей волны. Оно показывает, что в результате наложения прямой и обратной волн точки среды колеблются так, что все они одновременно проходят положение равновесия (sin ωt = 0) и все они одновременно достигают своих наибольших отклонений (sin ωt = ± 1).
Можно было бы сказать, что частицы в стоячей волне колеблются в одной фазе. Однако в силу того, что множитель имеет алгебраический знак, частицы на самом деле
колеблются либо в одной фазе, если для них имеет одинаковый знак, либо в противофазе, еслиимеет для них разные знаки.
Рис.4
Для пояснения сказанного на рисунке 4 приведено распределение смещения частиц среды для различных последовательных моментов времени. В моменты времени t1 и t5 частицы имеют наибольшие отклонения (если иметь в виду поперечную волну в шнуре, то графики описывают истинное положение частиц в пространстве), при этом скорости их равны нулю. В момент t3 частицы проходят положение равновесия; скорости их максимальны. Для моментов t2 и t4 показаны распределения смещений между наибольшим и нулевым смещением. На графике выбраны три точки с координатами х1, x2, x3. Для каждого момента времени стрелками показаны скорости этих точек. Из графика видно, что точки х1 и х2 колеблются в противофазе, а точки х1 и x3 — в одной фазе. Размахи колебаний у разных точек различны. Так, точка 4 колеблется в пределах отрезка а, б. Амплитуда колебаний частиц в стоячей волне зависит от их координаты, но не зависит от времени:
. (2)
Здесь знак модуля поставлен потому, что амплитуда — сугубо положительная величина. В стоячей волне имеются такие точки, которые остаются все время неподвижными. Такие характерные точки называются узлами смещения. Положение их определяется из условия
или
Это уравнение удовлетворяется при значениях аргумента
где k = 0, 1, 2, ... . Отсюда
Таким образом, точки с координатами являютсяузлами смещения. Расстояние между двумя соседними узлами равно .
Точки волны, колеблющиеся с наибольшими амплитудами, называются пучностями смещения. Координаты этих точек определяются из условия
или
Это уравнение удовлетворяется при значениях аргумента (где k=0,1,2,…).
Отсюда получаем:
.
Таким образом, наибольшую амплитуду имеют точки с координатами Расстояние между двумя соседними пучностями равно. На рисунке 5 представлен график распределения амплитуды колебаний в стоячей волне (формула 2).
График стоячей волны, приведенный на рисунке 6, носит условный характер: на нем показано, в каких пределах колеблются различные точки среды, в которой образовалась стоячая волна. На этом графике хорошо видны узлы и пучности смещения.
Рис.5
Рис.6