МехТепЗадачиФинал2013

h = SV = 2,8 см.

10. Газ расширяется адиабатически так, что его давление уменьшается от p1 = 200 кПа до р2 = 100 кПа. Затем он нагревается при постоянном объеме до

11. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Рабочим телом является воздух, который при давлении р1 = 708 кПа и температуре t1 = 127 °C занимает объем V1 = 2 л. После изотермического расширения воздух занял объем V2 = 5 л; после адиабатического расширения объем стал V3 = 8 л. Найти: а) координаты пересечения изотерм и адиабат; б) работу А, совершаемую на каждом участке цикла; в) полную работу А, совершаемую за весь цикл; г) КПД цикла; д) количество теплоты Q1, полученное от нагревателя за цикл; е) количество теплоты Q2, отданное холодильнику за цикл.

температуру воздуха

T3 =T2 p3V3 = 330 К. p2V2

Точка 4 лежит на изотерме, поэтому температура T4 =T3 = 330 К. Кроме

того, эта точка лежит на пересечении изотермы 3-4 и адиабаты 1-4. Поэтому параметры в этой точке связаны уравнениями Бойля-Мариотта и адиабаты

Поделив почленно уравнения, найдем объем, а затем и давление воздуха

Таким образом, параметры состояния воздуха во всех точках рассчитаны. Работу газа в изотермическом процессе 1-2 определим по формуле

Работу газа в изотермическом процессе 3-4 определим по формуле

42

Работу газа в адиабатическом процессе 4-1 определим по формуле

Как видно, при сжатии газа его работа отрицательная. А это означает, что в этих процессах над газом совершается работа. Полную работу за цикл найдем как алгебраическую сумму всех работ

A = ∑Ai = 230 Дж.

Как известно, КПД цикла Карно можно найти по формуле

где Т1 и Т2 – температуры нагревателя и холодильника.

С другой стороны КПД тепловой машины определяется выражением

η= A = Q1 −Q2 ,

Q1 Q1

где Q1 и Q2 – количество теплоты, полученное от нагревателя и отданное холодильнику.

Отсюда находим Q1 и Q2:

Q1 = ηA = 1300 Дж, Q2 =Q1 − A = 1070 Дж.

Количество теплоты Q1 можно найти другим способом, используя I начало термодинамики. Для процесса 1 – 2 по I началу термодинамики с учетом

U = const имеем: Q1 = U + A12 = A12 = 1300 Дж.

12. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено газом. Радиусы цилиндров равны r = 5 см и R = 5,2 см. Высота внутреннего цилиндра h = 25 см. Внешний цилиндр вращается с частотой n = 360 об/мин. Для того чтобы внутренний цилиндр оставался неподвижным, к нему надо приложить касательную силу F = l,38 мН. Рассматривая в первом приближении случай как плоский, найти из данных этого опыта вязкость η газа, находящегося между цилиндрами.

Решение. Эта задача связана с вязкостью газа, которая проявляется, если соседние слои газа движутся с разными скоростями. По условию прилипания вязкий газ вблизи поверхности движется со скоростью поверхности. В данном примере газ возле внешнего цилиндра движется со скоростью вращения цилиндра v = 2πRn , а возле внутреннего цилиндра – покоится (рис. 2.4). По закону вязкого трения Ньютона, сила трения равна

тр x

43

13. Между двумя пластинами, находящимися на расстоянии d = 1 мм друг от друга, находится воздух. Между пластинами поддерживается разность температур T = 1 К. Площадь каждой пластины S = 0,01 м2. Какое количество теплоты Q передается за счет теплопроводности от одной пластины к другой за время t = 10 мин? Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм.

Решение. Количество теплоты, передаваемое через воздух от одной пластины к другой за время t определим по закону Фурье

где T и x - разность температур и расстояние между пластинами,

ния молекул воздуха, Cv = 52 R - молярная теплоемкость при постоянном объеме, n – концентрация молекул, N A - число Авогадро.

Концентрацию молекул найдем из основного уравнения молекулярнокинетической теории

p = nkT ,

где k = R N A = 1,38 10-23 Дж/К- постоянная Больцмана.

Подставляя все выражения в (1), и учитывая нормальные условия (Т = 273 К, р = 105 Па), находим количество переданной теплоты

44

при температуре t = - 20 °С в пар при температуре tп = 100 °С.

Решение. Изменение энтропии при переходе вещества из состояния 1 в состояние 2 определяется выражением

= 2 dQ S ∫1 T .

При переходе вещества из одного агрегатного состояния в другое, общее изменение энтропии складывается из ее изменений в отдельных процессах: S = S1 + S2 + S3 + S4 , где S1 , S2 , S3 и S4 - изменение энтропии при нагревании льда, плавлении льда, нагревании воды и испарении воды. При нагревании льда от T =t + 273 = 253К до температуры плавления T0 = 273 К

15. Найти изменение энтропии S при переходе массы m = 6 г водорода от объема V1 = 20 л под давлением p1 = 150 кПа к объему V2 = 60 л под давлением

р2 = 100 кПа.

Решение. Изменение энтропии при переходе вещества из состояния 1 в состояние 2 определяется выражением

45

где ν = mμ - количество молей вещества, μ = 2 г/мольмолярная масса водорода, CV =5R2 - молярная теплоемкость водорода как двухатомного газа при по-

где температура исключена на основании уравнения состояния pV = νRT . Подставляя числовые данные, находим приращение энтропии

S= 70,6 Дж/К.

2.3.Задачи для работы в аудитории

1.Каким должен быть наименьший объем V баллона, вмещающего массу m = 6,4 кг кислорода, если его стенки при температуре t = 20 °C выдерживают давление р = 15,7 МПа?

Ответ: V = 31 л.

2.Посередине откачанного и запаянного с обоих концов капилляра, расположенного горизонтально, находится столбик ртути длиной l = 20 см. Если

капилляр поставить вертикально, то столбик ртути переместится на l = 10 см. До какого давления р0 был откачан капилляр? Длина капилляра L = 1 м.

Ответ: р0 = 375 мм рт. ст. = 50 кПа.

3. Масса m = 10 г кислорода находится при давлении p = 304 кПа и температуре t1 = 10 °C. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем V2 = 10 л. Найти объем V1 до расширения, тем-

пературу t2 газа после расширения, плотности ρ1 и ρ2 газа до и после расширения.

Ответ: V1 = 2,4 л; t2 = 1170 °К; ρ1 = 4,14 кг/м3; ρ2 = 1 кг/м3.

4. В закрытом сосуде объемом V = 1 м3 находится масса m1 = 1,6 кг кислорода и масса m2 = 0,9 кг воды. Найти давление р в сосуде при температуре t = 500 °С, зная, что при этой температуре вся вода превращается в пар.

Ответ: р = 640 кПа.

5.Закрытый сосуд объемом V = 2 л наполнен воздухом при нормальных

условиях. В сосуд вводится диэтиловый эфир (С2Н5ОС2Н5). После того, как весь эфир испарился, давление в сосуде стало равным р = 0,14 МПа. Какая масса m эфира была введена в сосуд?

Ответ: m = 2,5 г.

6.Какая часть молекул n кислорода при температуре t = 0 °С обладает скоростями v в интервале от 100 до 110 м/с?

Ответ: n = 0,4 %.

7.Найти плотность ρ воздуха: а) у поверхности Земли; б) на высоте h = 4 км от поверхности Земли. Температуру воздуха считать постоянной и рав-

ной t = 0 °С. Давление воздуха у поверхности Земли р0 = 100 кПа.

Ответ: а) ρ = 1,28 кг/м3 б) ρ = 0,78 кг/м3.

8.Масса m = 10 г кислорода находится при давлении р = 0,3 МПа и температуре t = 10 °С. После нагревания при p = const газ занял объем V2 = 10 л.

46

Найти количество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа U1 и U2 до и после нагревания.

Ответ: Q = 7,9 кДж; U1 = 1,8 кДж; U2 = 7,6 кДж.

9. Для нагревания некоторой массы газа на t1 = 50 °С при р = const необходимо затратить количество теплоты Q1 = 670 Дж. Если эту же массу газа охладить на t2 = 100 °С при V = const, то выделяется количество теплоты Q2 = 1005 Дж. Какое число степеней свободы i имеют молекулы этого газа?

Ответ: i = 6.

10. В сосуде под поршнем находится масса m = 1 г азота. Какое количество теплоты Q надо затратить, чтобы нагреть азот на T = 10 К? На сколько при этом поднимется поршень? Масса поршня М = 1 кг, площадь его поперечного сечения S = 10 см2. Давление над поршнем р = 100 кПа.

Ответ: Q = 10,4 Дж, h = 2,8 см.

11. В сосуде под поршнем находится газ при нормальных условиях. Расстояние между дном сосуда и поршнем h = 25 см. Когда на поршень положили груз массой m = 20 кг, поршень опустился на h = 13,4 см. Считая сжатие адиабатическим, найти для данного газа отношение CpCV . Площадь попереч-

ного сечения поршня S = 10 см2. Массой поршня пренебречь.

Ответ: CpCV = 1,4.

12. Газ расширяется адиабатически от давления p1 = 200 кПа до давления р2 = 100 кПа. Затем он нагревается при постоянном объеме до первоначальной температуры, причем его давление становится равным p = 122 кПа. Найдите отношение CpCV для этого газа. Начертите график этого процесса.

Ответ: CpCV = 1,4.

13. Масса m = 10 г кислорода, находящегося при нормальных условиях, сжимается до объема V2 = 1,4 л. Найти давление р2 и температуру t2 кислорода после сжатия, если кислород сжимается: а) изотермически; б) адиабатически. Найти работу А сжатия в каждом из этих случаев.

Ответ: а) р2 = 510 кПа; Т2 = 273 К; А = - 1140 Дж; б) р2 = 960 кПа; Т2 = 520 К; А = - 1590 Дж.

14. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Воздух при давлении р1 = 708 кПа и температуре t1 = 127 °C занимает объем V1 = 2 л. После изотермического расширения воздух занял объем V2 = 5 л; после адиабатического расширения объем стал равным V3 = 8 л. Найти: а) координаты пересечения изотерм и адиабат; б) работу А, совершаемую на каждом участке цикла; в) полную работу А, совершаемую за весь цикл; г) КПД цикла; д) количество теплоты Q1, полученное от нагревателя за цикл; е) количество теплоты Q2, отданное холодильнику за цикл.

Ответ: а) V1 = 2 л, р1 = 708 кПа, V2 = 5 л, р2 = 284 кПа,

V3 = 8 л, р3 = 146 кПа, V4 = 3,22л, р4 = 365 кПа;

б) А1 = 1300 Дж, А2 = 620Дж, А3 = - 1070 Дж, А4 = - 620 Дж; в) А = ∑Ai = 230 Дж; г) КПД = 0,175;

д) Q1 = 1300 Дж; е) Q2 = 1070 Дж.

47

15.Найти изменение S энтропии при превращении массы m = 10 г льда

при температуре t = - 20 °С в пар при температуре tп = 100 °С. Ответ: S = 88 Дж/ К.

16.Найти изменение S энтропии при переходе массы m = 8 г кислорода от объема V1 = 10 л при температуре t1 = 80 °С к объему V2 = 40 л при темпера-

туре t2 = 300 °С.

Ответ: S = 5,4 Дж/ К.

17. Объем V1 = 1 м3 воздуха, находящегося при температуре t1 = 0 °С и давлении p1 = 98 кПа, изотермически расширяется от объема V1 до объема V2 = 2V1. Найти приращение энтропии S в этом процессе.

Ответ: S = 500 Дж/К.

18. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено газом. Радиусы цилиндров равны r = 5 см и R = 5,2 см. Высота внутреннего цилиндра h = 25 см. Внешний цилиндр вращается с частотой n = 360 об/мин. Для того чтобы внутренний цилиндр оставался неподвижным, к нему надо приложить касательную силу F = l,38 мН. Рассматривая в первом приближении случай как плоский, найти из данных этого опыта вязкость η газа, находящегося между цилиндрами.

Ответ: η = 18 мкПа с.

19.Между двумя пластинами, расположенными на расстоянии а = 1 мм

друг от друга, находится воздух. Между пластинами поддерживается разность температур T = 1 К. Площадь каждой пластины S = 0,01 м2. Какое количество теплоты Q передается за счет теплопроводности от одной пластины к другой за время t = 10 мин? Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм.

Ответ: Q = 78 Дж.

20.Найти среднюю длину свободного пробега λ атомов гелия, если известно, что плотность гелия ρ = 0,021 кг/м3, а диаметр молекул d = 0,2 нм.

Ответ: λ = 1,8 мкм.

2.Какая должна быть масса m оболочки воздушного шарика, наполненного гелием, чтобы шарик находился во взвешенном состоянии? Воздух и гелий находятся при нормальных условиях. Давление внутри шарика равно внешнему давлению. Диаметр шарика d = 20 см.

Ответ: m = 4,6 г.

3.В запаянном сосуде находится вода, занимающая объем, равный половине объема сосуда. Найти давление р и плотность ρ водяного пара при тем-

пературе t = 400 °С, зная, что при этой температуре вся вода обращается в пар. Ответ: р = 155 МПа; ρ = 500 кг/м3.

48

4.В первом сосуде объемом V1 = 3 л находится газ под давлением р1 = 0,2 МПа. Во втором сосуде объемом V2 = 4 л находится тот же газ под давлением р2 = 0,1 МПа. Температуры газа в обоих сосудах одинаковы. Под каким давлением р будет находиться газ, если соединить оба сосуда трубкой? Объемом трубки пренебречь.

Ответ: р = 415 кПа.

5.В сосуде находятся масса m1 = 14 г азота и масса m2 = 9 г водорода

при температуре t = 10 °С и давлении р = 1 МПа. Найти молярную массу μ смеси и объем V сосуда.

Ответ: μ = 0,0046 кг/моль; V = 11,7 л.

6.Какая часть молекул азота при температуре Т имеет скорости, лежащие

7.На какой высоте h плотность газа вдвое меньше его плотности на уровне моря? Температуру газа считать постоянной и равной t = 0 °С. Задачу решить для: а) воздуха, б) водорода.

Ответ: a) h = 5,5 км; б) h = 80 км.

8.Масса m = 12 г азота находится в закрытом сосуде объемом V = 2 л

при температуре t = 10 °С. После нагревания давление в сосуде стало р = 1,33 МПа. Какое количество теплоты Q сообщено газу при нагревании?

Ответ: Q = 4,15 кДж.

9.Азот находится в закрытом сосуде объемом V = 3 л при температуре

t1 = 27 °С и давлении р1 = 0,3 МПа. После нагревания давление в сосуде повысилось до р2 = 2,5 МПа. Найти температуру t2 азота после нагревания и количество теплоты Q, сообщенное азоту.

Ответ: T2 = 2500 K; Q = 16,5 кДж.

10.Двухатомному газу сообщено количество теплоты Q = 2,1 кДж. Газ расширяется при p = const. Найти работу А расширения газа.

Ответ: A = 600 Дж.

11.Двухатомный газ занимает объем V1 = 0,5 л при давлении р1 = 50 кПа. Газ сжимается адиабатически до некоторого объема V2 и давления p2. Затем он охлаждается при V2 = const до первоначальной температуры, причем его давление становится р0 = 100 кПа. Начертить график этого процесса. Найти объем V2

и давление р2.

Ответ: V2 = 0,25 л; р2 =132 кПа.

12. Масса m = 28 г азота, находящегося при температуре t1 = 40 °C и давлении p1 = 100 кПа, сжимается до объема V2 = 13 л. Найти температуру t2 и давление р2 азота после сжатия, если азот сжимается: а) изотермически; б) адиабатически. Найти работу А сжатия в каждом из этих случаев.

Ответ: а) Т2 = Т1 = 313 К; р2 = 0,20 МПа; А = - 1,80 кДж; б) Т2 = 413 К; р2 = 0,26 МПа; А = - 2,08 кДж.

13. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, за цикл получает от нагревателя количество теплоты Q1 = 2,512 кДж. Температура нагре-