МехТепЗадачиФинал2013

30

и полную E энергии камня через время t = 2 c после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

5.Два груза с массами m1 = 3 кг и m2 = 2 кг соединены нитью и перекинуты через невесомый блок. Найти ускорение а, с которым движутся грузы и натяжение нити Т. Трением в блоке пренебречь.

6.Сплошной цилиндр массой m = 0,25 кг и диаметром d = 6 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая n = 4 об/с. Найти кинетическую энергию Ek цилиндра.

7.Два груза с массами m1 = 5 кг и m2 = 4 кг соединены нитью, которая перекинута через блок массой m = 0,5 кг и радиусом R = 0,2 м. Найти ускорение а,

скоторым движутся грузы и натяжение нити Т по разные стороны блока. Трением в блоке и массой нити пренебречь.

8.Найти кинетическую энергию мотоциклиста, который едет со скоростью v = 72 км/ч. Масса мотоциклиста вместе с мотоциклом m = 200 кг, причем на массу колес приходится m1 = 20 кг. Колеса мотоцикла считать обручами.

9.Тело массой m1 = 2 кг движется со скоростью v1 = 3 м/с и догоняет

второе тело массой m2 = 3 кг, движущееся со скоростью v2 = 1 м/с. Найти скорости тел u1 и u2 после столкновения, если удар центральный и абсолютно упругий.

10.Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вер-

тикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n1 = 10 об/мин. Человек массой m0 = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы

кее середине между центром и краем? Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой.

11.Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т стержня.

12.Какое давление р в водопроводе, если струя воды из крана бьет вверх

на высоту h = 5 м. Плотность воды ρ = 1000 кг/м3, ускорение свободного падения g = 10 м/с2, атмосферное давление р0 = 100 кПа.

31

2.МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

2.1. Сводка основных формул

Идеальный газ. Идеальным называют газ, в котором пренебрегают размерами и взаимодействием молекул. Параметры состояния идеального газа связаны уравнением Менделеева-Клапейрона

pV = νRT ,

где р, V и T – давление, объем и абсолютная температура газа, ν = mμ - коли-

чество молей, m и μ - масса и молярная масса газа, R = 8,31 Дж К/моль - универсальная газовая постоянная.

Для газов выделяют следующие изопроцессы: изотермический (Т = const), изохорный (V = const) и изобарный, (p = const), которые описываются законами:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории имеет вид p = nkT = 32 n ε ,

где n – концентрация частиц, k = 1,38 10-23 Дж/К - постоянная Больцмана, ε -

средняя кинетическая энергия молекул.

По закону Дальтона давление р смеси газов равно сумме парциальных давлений pi каждой компоненты смеси

n

p = ∑pi

i=1

Распределения Больцмана и Максвелла. Зависимость давления газа в атмосфере Земли от высоты задается барометрической формулой

p = p0e−μghRT ,

где p0 - давление на нулевом уровне, h – высота от нулевого уровня.

Распределение Больцмана дает концентрацию частиц n в силовом поле n = n0e−Ep kT ,

где Ep – потенциальная энергия частиц, n0 - концентрация частиц при Ep = 0.

Количество частиц dN из общего числа N , скорость которых лежит в небольшом интервале dv от v до v + dv , определяется распределением Максвелла

Характерные скорости теплового движения молекул - вероятная vв , средняя vcp и средняя квадратичная vкв - определяются выражениями

Первое начало термодинамики. Первое начало термодинамики выражает закон сохранения энергии в тепловых процессах: количество теплоты, сообщенное термодинамической системе, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение системой работы против внешних сил

Q = U + A,

в дифференциальной форме для малых величин dQ = dU +dA.

Здесь Q – количество теплоты, U – изменение внутренней энергии, А – работа. Различают три вида теплообмена: теплопроводность, конвекция и излучение.

При изменении объема от V1 до V2 термодинамическая система совершает работу, которая определяется выражением

V2

A = ∫ pdV .

V1

Работа термодинамической системы в различных процессах: изобарном

A = p V ,

изотермическом

A = νRT ln V2 , V1

адиабатическом

Отношение количества теплоты, полученного системой, к приращению ее температуры, называется теплоемкостью

c = dQdT .

Теплоемкость С одного моля называется молярной, а одного килограмма – удельной теплоемкостью с. Теплоемкость зависит от способа нагревания системы и ее состояния. Различают теплоемкости при постоянном давлении C p и

при постоянном объеме CV .

Молярные теплоемкости идеального газа зависят от состава молекул и определяются соотношениями

СV = 2i R , Сp = i +2 2 R ,

где i – число степеней свободы молекулы; i = 3, 5 и 6 для одно-, двух- и трехатомных молекул с жесткой связью.

Для идеального газа теплоемкости C p и CV связаны уравнением Майера

33

Cp −CV = R .

Адиабатическим называется процесс, который происходит без теплообмена с окружающими телами. В адиабатическом процессе параметры системы связаны уравнением адиабаты (адиабата Пуассона)

pV γ = const ,

где γ =Cp CV - показатель адиабаты; γ = 5/3, 7/5 и 4/3 – для одно-, двух- и

трехатомных молекул с жесткой связью.

Второе начало термодинамики. Периодически действующее устройство, преобразовывающее тепловую энергию в работу, называется тепловой машиной. Необходимыми элементами тепловой машины являются: нагреватель, от которого машина получает количество теплоты Q1 , холодильник, которому она

отдает количество теплоты Q2 , и рабочее тело, которое совершает работу А. КПД тепловой машины определятся выражением

η= A = Q1 −Q2 .

Q1 Q1

КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температуры нагревателя T1 и холодильника T2 и дается формулой

η = T1 −T2 .

T1

КПД реальной тепловой машины всегда меньше КПД идеальной, работающей в тех же условиях.

Второе начало термодинамики устанавливает направление протекания термодинамических процессов в системе. Существует несколько эквивалентных формулировок II начала термодинамики:

формулировка Томсона: невозможно организовать круговой процесс, единственным результатом которого является полное преобразование тепла одного тела в работу;

формулировка Клаузиуса: тепло не может самопроизвольно переходить от горячего тела к холодному;

закон возрастания энтропии: в замкнутой системе энтропия не убывает; вечный двигатель II рода: невозможна тепловая машина с КПД равным

единице (η < 1).

Энтропия. Энтропией называют функцию состояния, приращение которой в обратимом процессе равно приведенному теплу, полученному системой

= 2 dQ S ∫1 T .

По II началу термодинамики в замкнутой системе энтропия не убывает

S ≥ 0 .

Приращение энтропии для одного моля идеального газа равно

S =CV ln T2 + Rln V2 . T1 V1

34

Основное уравнение термодинамики имеет вид

TdS = dU + pdV .

Явления переноса. Молекулы газа при движении сталкиваются между собой. Средняя длина λ свободного пробега молекул (среднее расстояние между двумя последующими соударениями молекулы) определяется выражением

λ = 21σn ,

где σ = πd 2 - площадь эффективного сечения, d - эффективный диаметр молекул, n – концентрация молекул.

При нарушении термодинамического равновесия в системе возникают потоки массы, импульса и тепла. Плотность потока j переносимой величины G

пропорциональна ее градиенту

Gj = −13 nλ v G ,

где v - средняя скорость теплового движения молекул.

Сила вязкого трения определяется согласно закону Ньютона по формуле

τ = ηdudx = 13 nλ v m0 dudx ,

где η- коэффициент вязкости, m0 - масса молекулы, u – скорость упорядоченного движения газа, координата х направлена по нормали к скорости u.

По закону Фурье для теплопроводности плотность потока тепла

где α - коэффициент теплопроводности, Т – температура. По закону Фика для диффузии плотность потока массы

jmi = −D dndxi = 13 λ v dndxi ,

где D - коэффициент диффузии, ni - концентрация i - той компоненты в смеси.

Реальные газы. Газ Ван-дер-Ваальса. Уравнение Ван-дер-Ваальса учи-

тывает взаимодействие и размеры молекул и для одного моля газа имеет вид

(p + aV 2 )(V −b)= RT ,

где а и b – поправки, которые учитывают взаимодействие и размеры молекул. Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса для одного моля

U =CV T − Va .

Поверхностное натяжение. По разные стороны искривленной поверхности жидкости давление разное. Избыточное давления p под искривленной по-

верхностью жидкости задается формулой Лапласа

35

где σ - коэффициент поверхностного натяжения, R1 и R2 - главные радиусы кривизны поверхности. Для сферической поверхности R1 = R2 = R и

p = 2Rσ .

Высота h подъема жидкости внутри круглого капилляра радиуса r равна h = 2σρcosgr θ,

где θ - краевой угол (θ = 0 или π при полном смачивании и несмачивании).

С наличием свободной поверхности S в жидкости связана поверхностная энергия US , которая определяется выражением

US = σS .

Фазовые переходы. Вещество может находиться в 3х агрегатных состояниях (фазах): твердое, жидкое и газообразное. Переход вещества из одного агрегатного состояния в другое называется фазовым переходом: плавление и кристаллизация (твердое ↔ жидкое), испарение и конденсация (жидкое ↔ газообразное), сублимация (твердое ↔ газообразное).

Количество теплоты при нагревании тела определяется по формуле

Q = cm(T2 −T1 )

где m – масса тела, с – удельная теплоемкость, T1 и T2 начальная и конечная

температура тела.

Количество теплоты при фазовом переходе определяется по формуле

Q = qm ,

где q – удельная теплота фазового перехода, m – масса тел.

При теплообмене выполняется уравнение теплового баланса

∑Qi + ∑Qj = 0 , Qi = mici (Ti −T ), Q j = q j m j ,

где Qi и Qj - тепло, полученное при нагревании и фазовых переходах тел.

Уравнение Клапейрона – Клаузиуса связывает параметры состояния для фазового перехода

где q – удельная теплота фазового перехода, v1 =1 ρ1 ,v2 =1 ρ2 и v2 - удельные объемы первой и второй фазы, Т – абсолютная температура фазового перехода.

2.2. Примеры решения типовых задач

1. Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при температуре t1 = 7 °С было р1 = 100 кПа. При нагревании бутылки пробка вылетела. До какой температуры t2 нагрели бутылку, если известно, что пробка вылетела при давлении воздуха в бутылке р2 = 130 кПа?

Решение. При нагревании закупоренной бутылки происходит изохорный процесс (V = const ), который описывается законом Шарля

Решая систему уравнений (1) и (2), находим начальное давление

p0 = p(h2 − l 2 ) = 50 кПа = 375 мм рт. ст. 2h l

3. Каков должен быть вес Р оболочки детского воздушного шарика, наполненного водородом, чтобы результирующая подъемная сила шарика F = 0, т. е. чтобы шарик находился во взвешенном состоянии? Воздух и водород находятся при нормальных условиях. Давление внутри шарика равно внешнему давлению. Радиус шарика r = 12,5 см.

Решение. На шарик действует сила тяжести mg и сила Архимеда FA , ко-

торые при равновесии скомпенсированы. Шарик находится во взвешенном состоянии, значит сумма силы тяжести m2 g шарика с водородом и веса оболочки

Массу воздуха и водорода найдем из уравнения Менделеева-Клайпейрона

38

Плотность ρ0 найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона

ρ0 = p0μ = 1,28 кг/м3.

RT0

Из (2) найдем плотность на высоте h:

ρ=ρ0 exp − μgh = 0,774 кг/м3.

RT

6.Какая часть молекул n кислорода при температуре t = 0 °С обладает скоростями v в интервале от v1 = 100 до v2 = 110 м/с?

Решение. Количество молекул, имеющих скорость в заданном интервале скоростей, найдем по распределению Максвелла

значений скорости на концах интервала, интеграл (1) вычислим приближенно по формуле о среднем значении

где v = (v1 + v2 )2 = 105 м/с – среднее значение скорости в заданном интерва-

ле. Подставляя числовые значения, находим

n = 0,004 = 0,4 %.

7. Масса m = 10 г кислорода находится при давлении р = 0,3 МПа и температуре t = 10 °С. После нагревания при p = const газ занял объем V2 = 10 л. Найти количество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа U до и после нагревания.

Решение. Так как кислород - двухатомный газ, то у его молекул і = 5 степеней свободы. Значит, энергия теплового движения молекул кислорода до и после нагревания будет

где U =U2 −U1 - изменение внутренней энергии газа.

Неизвестные V1 и T2 найдем из уравнений для начального и конечного состояний газа

Подставляя числовые данные, получим

ходимо затратить количество теплоты Q1 = 670 Дж. Если эту же массу газа охладить на t2 = 100 °С при V = const, то выделяется количество теплоты

Q2 = 1005 Дж. Какое число степеней свободы i имеют молекулы этого газа? Решение. Количество теплоты Q1 и Q2 определим через молярную тепло-

емкость газа в изобарном C p и изохорном CV процессах по формулам

этом поднимется поршень? Масса поршня М = 1 кг, площадь его поперечного сечения S = 10 см2. Давление над поршнем р = 100 кПа.

где μ = 28 г/моль – молярная масса азота.

При расширении газ совершает работу против сил тяжести и атмосферного

Из условия задачи следует, что давление газа будет постоянным, т.к. определяется весом поршня и внешним атмосферным давлением. Из уравнения Менде-

леева-Клайперона pV = mμ RT найдем приращение объема