![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •III. Производная и исследование функций
- •§ 6. Основы дифференцирования функций
- •Производные от основных элементарных функций
- •Обобщённая таблица основных производных
- •Дополнительные примеры поиска производных
- •Примеры поиска производных для функций тройной вложенности
- •§ 7. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 8. Правило Лопиталя – Бернулли
- •§ 9. Исследование функций и построение графиков
- •Замечание о поиске 2-х производных
§ 8. Правило Лопиталя – Бернулли
Правило позволяет
раскрывать неопределённости
и
,
а также, после приведения к указанным
дробям, неопределённости
,
,
и
.
Оказывается, если
в некоторой точке две функции равны 0,
то предел их отношения такой же, как у
отношения производных:
.
Подобное свойство
выполнено, если функции в точке a
становятся бесконечно большими:
.
Кроме того, оба
свойства справедливы, когда
,
а не к точкеa.
Пример 1.
Найдём
.
Поскольку
и
,
то
.
Разумеется, можно
было вначале сократить
и потом подставить 2.
Пример 2.
.
Пример 3.
(или
)
(если забыть, что
при любых
и
всегда
).
Пример 4. Правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз:
.
(тем самым
при любых
и
,
даже при
и
).
Правило нельзя
применять,
если нет неопределённости
или
.
Пример 5.
,
при этом
.
ЛБ1. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
;
5) а)
; б)
; в)
; г)
.
Неопределённость
можно раскрыть, заменив на
или
.
Пример 6.
Найдём
.
Учтём, что
,
тогда
.
Неопределённость
приводят к
,
а затем – к
или
.
Пример 7.
Найдём
.
Преобразуем:
.
Но
,
и
.
Тогда отношение производных можно
упростить до
.
Значит,
.
В данном примере
можно было сразу после взятия производных
учесть, что
при
,
и не записывать громоздкий корень, а
заменять числом 1. Однако так нельзя
делать, если из корня такое же число 1
вычитается.
ЛБ2. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли
1) а)
; б)
; в)
;
2) а)
; б)
; в)
;
3) а)
; б)
; в)
.
Применение правила можно совмещать с переходом к эквивалентным бесконечным малым величинам и с подстановкой чисел.
Пример 8.
,
дифференцируем числитель и знаменатель:
.
Но
,
,
а при
и
,
тогда
.
ЛБ3. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
1) а)
; б)
; в)
; г)
.
§ 9. Исследование функций и построение графиков
Учиться строить графики по результатам исследования функций лучше всего на занятиях вместе с группой. Возможны разные способы построения графика по уже проведённому исследованию, например,
– постепенное уточнение: «монотонность – выпуклость – асимптоты»;
– уточнение: «поведение на краях – асимптоты – монотонность – выпуклость»;
– соединение отрезков, на которых ничего не меняется (выпуклое убывание, выпуклое возрастание и т.д. – метод, популярный в средней школе).
Общая схема исследования функции
1) Элементарное исследование:
а) найти область определения (обязательно), область значений;
б) точки пересечения с осями координат;
в) чётность и (или) периодичность;
2) монотонность и экстремум:
а) найти корни производной и разместить их на числовой оси;
б) выяснить знак производной на каждом полученном интервале;
в) определить интервалы возрастания, убывания;
г) найти точки минимума и максимума;
3) выпуклость и перегиб:
а) найти 2-ю производную, найти её корни и расставить их на числовой оси;
б) – г) по аналогии с 2) определить интервалы выпуклости «вниз», «вверх»,
точки перегиба;
4) асимптоты графика (для многочленов этот шаг не имеет смысла);
5) график функции строится по всем особенным точкам и линиям, полученным
на предыдущих шагах.
Замечание 1. Под точкой минимума или перегиба подразумевается как абсцисса (значение переменной), так и ордината (значение функции в этой переменной). Таким образом, речь идёт о точках графика, а не точках числовой оси. В литературе в этом отношении часто встречаются противоречия в текстах.
Исследование на выпуклость обычно связано с вычислительными трудностями. Далее показано, как при помощи небольшого рассуждения упростить построение графика, обходясь без 2-й производной.
Пример 1. Посмотрим,
как можно построить график функции
.
Замечаем, что
функция не пересекает ось OX
(уравнение
не имеет корней). Кроме того, функция
чётная – значит, график симметричен
относительно осиOY.
С
ростом x
от
|
|
С
другой стороны,
|
|
Подтверждается замечание о симметричности графика относительно вертикали. Объединяя графики, получаем такой набросок:
Однако график должен быть плавный, поскольку 1-я производная определена во всех точках. Поэтому с каждой стороны от оси OY график обязательно перегнётся: |
| |
Здесь решающую роль сыграло то, что график не пересекает ось OX. Иначе была бы возможна любая ситуация, например, такая: |
|
Пример 2. Функция
нечётная, и её график симметричен
относительно начала координат. Посмотрим,
что происходит при
.
Заметим, что график пересекает осьOX
в точке
,
и только в ней.
При
Получается,
что где-то при
|
|
Но
если функция будет выпукла вверх, она
пересечёт ось OX
при
|
|
Учитывая симметрию относительно начала координат, получаем примерно такой график: Здесь центр рисунка соответствует началу координат. |
|
Поиск производных нужен, если интересуют конкретные координаты точек экстремума или перегиба. Кроме того, приведённые рассуждения определяют число точек экстремума или перегиба с точностью до чётного числа.
Так, в примере 2
при
могла быть не 1, а 3 точки перегиба (но не
2 и не 4!), не 1 максимум, а 2 максимума и 1
минимум между ними, и т.д.
Замечание 2. В строгой математической литературе нередко «выпуклая функция» – это функция, график которой обращён «выпуклостью вниз» (например, парабола). Соответственно функции типа квадратного корня оказываются «вогнутыми». Это противоположно студенческой (и преподавательской) традиции, поэтому при обращении к старым учебникам необходимо внимательно следить, о каких функциях речь.
ИФ1. Постройте графики квадратичных функций по стандартной схеме исследования. Сравните с тем, что получается при построении по школьной схеме:
1)
;
2)
;
Примечание: Школьная (элементарная) схема – это поиск вершины параболы, точек пересечений с осями координат и определение направления ветвей.
ИФ2. Исследуйте функции и постройте графики многочленов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
ИФ3. Исследуйте функции, упростив производные, и постройте графики:
1)
;
2)
.
Пояснение: Производную в ИФ3 удобно найти, не раскрывая скобок:
.
Здесь применена
формула
.
Для поиска корней 1-й производной, а затем для поиска 2-й производной скобки лучше раскрыть:
.
ИФ4. Исследуйте дробно-рациональные функции и постройте их графики:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
.
ИФ 5. Постройте графики функций
1)
;
2)
;
3)
.