![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •III. Производная и исследование функций
- •§ 6. Основы дифференцирования функций
- •Производные от основных элементарных функций
- •Обобщённая таблица основных производных
- •Дополнительные примеры поиска производных
- •Примеры поиска производных для функций тройной вложенности
- •§ 7. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 8. Правило Лопиталя – Бернулли
- •§ 9. Исследование функций и построение графиков
- •Замечание о поиске 2-х производных
Дополнительные примеры поиска производных
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Замечание 4.
Не забывайте, что тригонометрические
функции нелинейны. Например, ,
,
,
и т.д. Записи
и
равноправны. Если имеется в виду функция
,
пишут
.
Примеры поиска производных для функций тройной вложенности
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
(сократили
);
6)
.
ОД11.
Слева даны функции
,
справа – их производные
,
причём в решении каждого примераесть
ошибка, как
правило, небольшая. Закрыв правый
столбец, найдите (или хотя бы предложите)
собственное решение. Сравните его с
табличным, а затем – с правильным на с.
95 – 96.
Для примеров, где и ваш вариант оказался ошибочен (а лучше – ещё раз для всех примеров), через некоторое время повторите решение и сравните с правильным – пока не избавитесь от ошибок.
№ |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
|
|
25 |
|
|
26 |
|
|
27 |
|
|
28 |
|
|
29 |
|
|
30 |
|
|
31 |
|
|
32 |
|
|
33 |
|
|
34 |
|
|
35 |
|
|
36 |
|
|
37 |
|
|
38 |
|
|
39 |
|
|
40 |
|
|
41 |
|
|
42 |
|
|
43 |
|
|
44 |
|
|
45 |
|
|
46 |
|
|
47 |
|
|
48 |
|
|
49 |
|
|
50 |
|
|
ОД12. Найдите производные функций
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
;
в)
; г)
;
4) а)
; б)
;
в)
; г)
;
5) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
6) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
.
ОД13.
Найдите производные функций
:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5)
|
6)
|
7)
|
8)
|
9)
|
10)
|
11)
|
12)
|
13)
|
14)
|
15)
|
16)
|
17)
|
18)
|
19)
|
20)
|
21)
|
22)
|
23)
|
24)
|
25)
|
26)
|
27)
|
28)
|
29)
|
30)
|
§ 7. Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое
дифференцирование обычно применяют,
чтобы найти производные от
степенно-показательных
функций
или от произведений
и дробей
,
где
– действительные числа.
В этих случаях можно найти логарифм функции, упростить его по основным свойствам логарифмов, продифференцировать то, что получилось, и умножить на первоначальную функцию.
Правило
дифференцирования
следует из формулы
.
Пример 1.
Применяя свойство
,
находим
,
тогда
,
т.е.
.
Поэтому
,
или, после раскрытия
скобок,
.
Пример 2.
Здесь
,
тогда
,
поэтому
.
Пример 3. Найдём
производную функции
.
Логарифмируем:
,
выносим степень:
,
дифференцируем:
.
Тогда
.
Пример 4.
Можно раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и продифференцировать частное, но лучше найти
и затем
.
Полученную сумму умножим на исходную функцию. Раскрывать скобки нет смысла – наоборот, в таких задачах желательно выносить общий множитель. Итак,
.
Пример 5.
Раскрыть скобки невозможно из-за корней, и непосредственное дифференцирование весьма громоздко. Поэтому ищем
,
затем по свойству логарифма выносим степени:
,
и тогда
.
Окончательно
.
ЛД1. Найдите производные функций
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
ЛД2. Найдите производные функций при помощи логарифмического дифференцирования. Укажите, в каких точках производная не определена:
1)
;
2)
;
3)
.
ЛД3. Найдите производные при помощи логарифмирования:
1) а)
; б)
;
2) а)
; б)
;
3) а)
; б)
.
Пример 6.
Пусть
,
тогда
,
соответственно
,
и тогда
.