![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 9. Криволинейные и кратные и кратные интегралы
- •9.1. Интегралы по компактной фигуре
- •9.1.1. Определение и существование интегралов по фигуре
- •9.1.2. Свойства интегралов
- •9.1.3. Геометрический и физический смысл интегралов по фигуре
- •9.2. Криволинейные интегралы
- •9.2.2. Криволинейный интеграл iIрода
- •9.3. Двойные интегралы
- •9.3.1. Вычисление двойных интегралов. Основным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к повторным однократным интегралам. Сначала рассмотрим случай прямоугольной области.
- •9.4. Поверхностные интегралы
- •9.4.1. Вычисление поверхностного интеграла Iрода.
- •9.4.2. Поверхностный интеграл iIрода.
- •9.4. Тройные интегралы
- •9.4.1. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •9.5. Интегралы, зависящие от параметра
- •9.5.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим следующий интеграл:
- •9.6.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть функция определена на множестве. Будем рассматривать интегралы вида:
- •9.6. Контрольные вопросы
- •9.7. Задания для самостоятельной работы
9.4. Тройные интегралы
9.4.1. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
Пусть существует тройной интеграл
, (25)
где
-
некоторая функция, заданная в
пространственной области интегрирования
.
В
Рис.29,
если подынтегральную функцию рассматривать,
как плотность распределения массы
.
Пусть область
ограничена поверхностями
снизу и
сверху, и боковой цилиндрической
поверхностью или совокупностью нескольких
цилиндрических поверхностей (рис.29).
Функции
и
заданы в областиD,
которая является проекцией области
на плоскостьОху.
Каждая прямая, выходящая из внутренней
точки области D
пересекает границу области
в двух точках
.
Возьмем бесконечно малый элемент
вD
и вычислим массу стержня вырезанного
из
цилиндрической поверхностью, у которого
направляющей является граница элемента
,
а образующая параллельна оси
Oz.
Выделим на высоте
из нашего стержня элемент длины
.
Объём его равен
,
а масса будет равна
(плотность массы в элементе объёма
можно считать постоянной ввиду его
малости).
Чтобы найти массу всего стержня необходимо просуммировать все такие элементы, т.е. вычислить интеграл
.
Здесь х
и у
считаются постоянными, так как
интегрирование происходит по z.
Чтобы определить массу всего
,
надо просуммировать массы всех узких
стержней, опирающихся на всевозможные
площадиds,
тогда получаем
,
.
Тогда
. (26)
Таким образом,
чтобы вычислить тройной интеграл,
интегрируют
поz
от точки входа до точки выхода, считая
х
и у
постоянными, затем от полученного
результата вычисляют двойной интеграл
по проекции области
на плоскостьОху.
Это один из способов вычисления тройных
интегралов.
В случае, когда
область
ограничена поверхностями
,
,
цилиндрическими поверхностями вдоль
оси
,
интеграл (25) вычисляется по формуле
.
Если же область
задана функциями
,
,
и цилиндрическими поверхностями вдоль
оси
,
то соответственно получаем для (25):
Пример 13.
Вычислить тройной интеграл
,
где
– область, ограниченная поверхностями
,
,
,
.
Решение.
Область
(рис. 30) можно записать в виде
Рис.30
где
.
Сводя тройной интеграл к повторному
интегралу, получим
.
9.4.2. Вычисление
тройного интеграла в цилиндрической и
сферической системах координат. Кроме
декартовой системы координат для
описания положения точки в пространстве
используются и другие системы координат,
которые называются криволинейными
системами координат. Наиболее
распространёнными являются цилиндрическая
и сферическая
системы координат.
Положение точки в цилиндрической системе
координат определяетсяполярными
координатами проекцииточки
М
наплоскость и
расстоянием точки М
до плоскости (рис.31). Числа
называются цилиндрическими координатами
точки
.
Цилиндрические координаты связаны с
декартовыми следующими отношениями
В
Рис.31
,
где
,
-
аппликаты точек входа и выхода из
области. Применив формулы перехода,
получим:
.
Двойной интеграл вычисляем его в полярной системе координат:
.
Это и есть формула для вычисления тройного интеграла в цилиндрической системе координат.
Другая распространённая
система координат -
сферическая.
Положение точки в сферической системе
координат определяется расстоянием от
начала координат -
,
полярным углом
проекции её на плоскость и углом
между осью
и радиус-вектором точкиМ,
отсчитанным от положительного направления
оси, т.е.
(рис. 32).
П
,
,
.
Связь между сферической системой
координат и декартовой выражается
следующим образом:
Рис.46
Имеет место формула для вычисления тройного интеграла в сферической системе координат
,
,
так как ябобиан преобразования
.
Пример 14.
Вычислить интеграл
,
если область
ограничена поверхностями
и
.
Решение.
Область V
представляет собою конус (рис.33а).
Уравнение конической поверхности,
ограничивающей область
,
можно записать в виде
,
а саму область
представить следующим образом:
,
где
– круг радиуса 1 с центром в начале
координат. Поэтому данный тройной
интеграл можно свести к последовательному
вычислению трех определенных интегралов
в прямоугольных координатах:
.
Рис.33
Однако удобнее
перейти к цилиндрическим координатам
:
,
,
.
Тогда прообраз круга
есть прямоугольник
,
прообраз конической поверхности –
плоская поверхность
,
а прообраз области
,
область
(рис.33б).
Якобиан перехода к цилиндрическим
координатам равен
,
подынтегральная функция в цилиндрических
координатах равна
.
Сводя тройной интеграл по области
к последовательному вычислению трех
определенных интегралов, получим
.
Отметим, что
расстановку пределов интегрирования
в цилиндрических координатах можно
произвести, рассматривая не область
,
а изменение цилиндрических координат
в области
.
Наглядно видно, что в области
переменная
изменяется от 0 до
,
при каждом значении
переменная
изменяется от 0 до 1, а для каждой точки
области
переменная
изменяется в области
от 0 (значение
в области
)
до
(значение
на конической поверхности).
9.4.3. Формула
Остроградского-Гаусса.
Под замкнутой
поверхностью будем
понимать поверхность, являющуюся
границей некоторой ограниченной
пространственной области V.
Можно показать, что всякая кусочно-гладкая
замкнутая поверхность является
ориентированной. При этом ориентация
определяется единичным вектором нормали
к поверхности. Направление от поверхности
внутрь области
это внутренняя нормаль, соответственно
наружу областиV
-
это внешняя нормаль.
Теорема 14. Если
векторная функция
,
непрерывна вместе с частными производными
,
,
в областиV,
то имеет место формула Остроградского-Гаусса
.
(27)
Поверхностный интеграл берётся по внешней нормали
Докажем эту
формулу в случае, когда область
является простой относительно осиOz.
Представим
,
где
,
.
Положительной ориентацией
и
являются их положительные стороны
и
с внешними нормалями (рис. 34).
Преобразуем тройной
интеграл по
от
к двойному интегралу по проекции
Двойные интегралы выразим через поверхностные, учитывая ориентацию поверхности:
,
,
тогда
.
Цилиндрическая
поверхность
имеет образующие параллельные осиOz,
поэтому нормаль
перпендикулярна образующей и
,
.
.
тогда
.
Аналогично, для областей простых относительно Оy и Оx получим формулы
,
.
Если область
простая одновременно относительно всех
координатных осей, то, складывая почленно
последние три формулы, получаем (27).<
Формула
Остроградского-Гаусса справедлива и
для простой области. Пусть
,
где
-
простые области относительно какой-либо
оси координат. Запишем для каждой формулу
и сложим полученные
результаты. Тогда слева, в силу свойства
адитивности тройного интеграла, получим
интеграл по области
.
Далее, учитывая, что внешние нормали к
внутренним частям границ области
направлены в разные стороны, получаем,
что сумма поверхностных интегралов по
этим частям границ областей
будет равна нулю. Следовательно, в правой
части останутся только интегралы по
тем частям границ
,
которые составляют в совокупность
границу S
области
.
В силу аддитивности поверхностного
интеграла это будет интеграл по
.
Такое разбиение удобно проводить
плоскостями параллельными осям координат.
Формула
Остроградского-Гаусса справедлива,
если функция
непрерывна в
,
а
,
,
непрерывны вV
и тройной интеграл существует. А также,
формула Остроградского-Гаусса справедлива
и для многосвязной области, граница
которой состоит из конечного числа
кусочно-гладких поверхностей. В этом
случае
.
Пример 15.
Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса
вычислить интеграл
,
где
– внешняя сторона сферы
.
Решение. По формуле Остроградского-Гаусса имеем
,
где
– шар
.
Для вычисления интеграла перейдем к
сферическим координатам
,
,
,
,
.
Якобиан перехода равен
.
Уравнение границы области
имеет вид
.
Получаем
.