- •Глава 9. Криволинейные и кратные и кратные интегралы
- •9.1. Интегралы по компактной фигуре
- •9.1.1. Определение и существование интегралов по фигуре
- •9.1.2. Свойства интегралов
- •9.1.3. Геометрический и физический смысл интегралов по фигуре
- •9.2. Криволинейные интегралы
- •9.2.2. Криволинейный интеграл iIрода
- •9.3. Двойные интегралы
- •9.3.1. Вычисление двойных интегралов. Основным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к повторным однократным интегралам. Сначала рассмотрим случай прямоугольной области.
- •9.4. Поверхностные интегралы
- •9.4.1. Вычисление поверхностного интеграла Iрода.
- •9.4.2. Поверхностный интеграл iIрода.
- •9.4. Тройные интегралы
- •9.4.1. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •9.5. Интегралы, зависящие от параметра
- •9.5.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим следующий интеграл:
- •9.6.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть функция определена на множестве. Будем рассматривать интегралы вида:
- •9.6. Контрольные вопросы
- •9.7. Задания для самостоятельной работы
Глава 9. Криволинейные и кратные и кратные интегралы
9.1. Интегралы по компактной фигуре
9.1.1. Определение и существование интегралов по фигуре
Компактной фигурой в (n=1,2,3) назовём следующие геометрические объекты:
отрезок [a, b] числовой прямой;
спрямляемую кривую конечной длины L на плоскости или в пространстве ;
область D на плоскости , ограниченную замкнутой кусочно-гладкой кривой;
ограниченную поверхность в пространстве ;
ограниченную область в пространстве .
Введем для компактной фигуры общее обозначение .
Диаметром компактной фигуры называется точная верхняя грань расстояний между любыми двумя точками этой фигуры, т.е. , .
Геометрически диаметр фигуры есть наибольшая из её хорд. Если , то фигура стягивается в точку. Таким образом, компактная фигура – это фигура с конечным диаметром d.
Для каждой компактной фигуры определим понятие меры . Если , . Если есть кривая на плоскости или в пространстве, то, то есть длина кривой, согласно определению, сделанному ранее.
Пусть – область на плоскости Oxy, ограниченная замкнутой кривой. Нанесем на область сетку с помощью двух семейств ортогональных прямых, параллельных осям координатОх и Оу соответственно. Тогда область покроется сетью целых прямоугольников() и некоторыми нерегулярными областями вдоль границы области. Площадь каждого прямоугольникаравна, гдеидлина и высота прямоугольника, а– диаметр прямоугольника. Обозначим.
Площадью области называется пределсуммы площадей элементарных прямоугольников, когда
.
Если этот предел существует, то область называется квадратируемой, а площадь области называется мерой области и обозначается.
Рассмотрим в пространстве замкнутую гладкую поверхность , ограниченную кусочно-гладким контуром. Представьте себе, что эта поверхность при помощи двух семейств ортогональных кривых разбита на сеть элементарных поверхностей(). На каждой частивозьмем произвольную точку(). Элементпроецируем на касательную плоскость, проведенную в точке. В проекции получим плоскую фигурус площадью. обозначим, гдедиаметр.
Площадью поверхности называется пределсуммы площадейпри условии
.
Если этот предел существует, то поверхность называется квадратируемой, а площадь поверхности называется мерой поверхности и обозначается.
Теперь пусть есть область в пространствеOxyz, ограниченная замкнутой поверхностью. Разобьем область семейством плоскостей, параллельных осям координатOx, Oy, Oz. Тогда область разобьется на конечное число параллелепипедов() и некоторое число нерегулярных пространственных областей вдоль поверхности, ограничивающей область. Объем каждого параллелепипедаравен, где,идлина, ширина и высота параллелепипеда. Обозначим черездиаметр параллелепипеда, а.
Объемом пространственной области называется пределсуммы объемов элементарных параллелепипедов, когда
.
Если этот предел существует, то область называется кубируемой, а ее объем называется мерой области и обозначается.
Определение 1. Разбиением компактной фигуры называется множество компактных фигур (i=1, 2, …, n), такое, что никакие две различные фигуры не имеют общих внутренних точек.
Разбиение отрезка (рис.1) разбиение кривой(рис.2), разбиение плоской области(рис.3), разбиение ограниченной поверхности(рис.4) и разбиение ограниченного пространственного тела(рис. 5).
Рис. 1
Рис.2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
М
Пусть на фигуре задана некоторая функция . Для определения интеграла по фигуре сделаем следующие действия:
Выполним некоторое произвольное разбиение фигуры , все элементы которого имеют конечную меру , причем если диаметр элемента разбиения стремится к нулю, то число элементов .
На каждом элементе разбиения возьмем произвольную точку .
Вычислим значение функции f в каждой точке , получим совокупность значений .
Каждое значение умножим на меру соответствующего элемента разбиения и составим сумму:
(1)
Эта сумма называется n-ой интегральной суммой (Римана) функции на , которая соответствует данному разбиению и данному выбору точек . Таких сумм можно получить бесконечно много. Обозначим .
Определение 2. Число I называется пределом интегральных сумм (1), если , что при независимо от выбора точек и способа разбиения выполняется неравенство:
Предел I интегральных сумм (1) при называется интегралом от функции f() по фигуре .
(2)
Если предел (2) существует и не зависит от выбора точек , то функция называется интегрируемой по Риману на компактной фигуре .
Ранее, для определенного интеграла Римана были доказаны свойства сумм Дарбу и свойства интегрируемых функций. Аналогичные теоремы имеют место и здесь. Приведём некоторые из них без доказательства. Пусть функция определена на .
Теорема 1 (необходимый признак). Функция , интегрируемая на компактной фигуре , ограничена на ней.
Теорема 2 (1 достаточный признак). Функция , непрерывная на компактной фигуре с кусочно-гладкой границей, интегрируема на .
Теорема 3 (2 достаточный признак). Функция , непрерывная на компактной фигуре всюду, кроме конечных разрывов на конечном числе гладких кривых или поверхностей составляющих , интегрируема на .
Для каждого типа компактной фигуры интеграл по фигуре имеет своё название и обозначение:
1. Если , то – определённый интеграл Римана.
2. Если , или , то – криволинейный интеграл по длине дуги или криволинейный интеграл I рода.
3. Если и , то – двойной интеграл.
4. Если и , то – поверхностный интеграл I рода.
5. Если , , то – тройной интеграл.