Решение задач

Задача 1. Отделить корни уравнения х⁴– 2х³– 5х²+ 2х + 0,9 = 0 на отрезке [–2; 2].

Построим график данной функции на отрезке [–2; 2] с шагом 0,25. График функции х⁴– 2х³– 5х²+ 2х + 0,9 = 0 на отрезке [–2; 2] представлен на рисунке 3.11.

Рисунок 3.11. График функции х⁴– 2х³– 5х²+ 2х + 0,9 = 0 на отрезке [–2; 2]

Из графика легко определить, что на данном участке функция трижды меняет знак (пересекает ось абсцисс), и, следовательно, имеет три корня на трех отрезках: [–1,75; –1,5]; [–0,5; 0]; [0,5; 0,75].

Задача 2. Найти корни уравнения х⁴– 2х³– 5х²+ 2х + 0,9 = 0 методом последовательных приближений на отрезке [–2; 2] с заданной погрешностью 0,001.

Точные значения корней установить из графика весьма затруднительно. Графическое решение уравнения в принципе возможно, но потребует много времени для изменения масштаба графика и непосредственного исследования поведения графика функции вблизи корней. Проще использовать средство Подбор параметра, встроенное в Microsoft Excel, которое позволяет оперативно найти корни с заданной точностью.

Перед началом использования средства Подбор параметра, необходимо настроить специальные средства Microsoft Excel для организации циклических алгоритмов (итераций). Для этого необходимо командой СервисПараметрыВычисления открыть вкладку Вычисления окна диалога Параметры и установить:

в поле Относительная погрешность значение погрешности 0,001;

в поле Предельное число итераций максимальное число итераций 32 767. Это позволит избежать ограничения числа итераций, прежде чем будет выполнено условие Относительная погрешность<0,001;

нажать кнопку OK.

Для нахождения корня на отрезке [–1,75; –1,5] необходимо заполнить рабочий лист в соответствии с рисунком 3.12.

	A	B
1	X	–1,75
2	Y	=B1^4-2*B1^3-5*B1^2+2*B1+0,9

Рисунок 3.12. - Заполнение рабочего листа

В данной таблице используется решение предыдущей задачи:

[–1,75; –1,5];

[–0,5; 0];

[0,5; 0,75].

В ячейку B1 внесена левая точка отрезка [–1,75; –1,5].

В ячейку B2 расчетная формула функции х⁴– 2х³– 5х²+ 2х + 0,9 = 0.

Далее необходимо выделить ячейку B2 и командой Сервис Подбор параметра (на рисунке 3.12) открыть окно диалога Подбор параметра (рисунок 3.13).

В окне диалога Подбор параметра:

1. В поле Установить в ячейке следует указать имя ячейки, содержащей формулу, для которой следует подобрать параметр (если предварительно ячейка была выделена, то ее имя в этом поле появится автоматически).

2. В поле Значение необходимо ввести число (значение функции), которое должна возвратить формула по окончании процесса подбора параметра.

3. В поле Изменяя значение ячейки необходимо указать ссылку на ячейку, которая содержит начальное значение аргумента. На эту ячейку прямо или косвенно должна ссылаться формула, содержащаяся в ячейке, адрес которой указан в поле Установить в ячейке. Указать ссылку можно, выполнив Щелчок на нужной ячейке (в данном случае на ячейке B1).

4. Нажать кнопку OK.

Рисунок 3.13. - Окно диалога Подбор параметра

По окончании итерационного процесса подбора параметра появится информационное окно о нахождении или отсутствии решения (рисунок 3.14).

Рисунок 3.14. - Окно диалога Результат подбора параметра

В ячейку B1 будет помещен аргумент X, при котором значение функции Y в ячейке B2 менее чем на 0,001 отлично от нуля. Это означает, что с заданной погрешностью 0,001 найден корень функции x₁ =  —1,624 920 583 202 58.

Аналогично осуществляет поиск оставшихся двух корней x₂ и x₃.

Ответ:

На отрезке [–1,75; –1,5]  корень  x₁ =  —1,624 920 583 202 58.

На отрезке [–0,5; 0]         корень  x₂ =  —0,279 725 512 565 86.

На отрезке [0,5; 0,75]      корень  x₃ =      0,599 543 914 148 49.

Задание. Программно округлите значения корней до сотых долей.

Задача 3. Найти методом последовательных приближений корни уравнения с заданной погрешностью 0,001.

Данное уравнение можно представить в виде и решать с помощью средстваПодбор параметра, т.е. способом, предложенным в задаче 2. Но численные методы и Microsoft Excel позволяют решить это уравнение и другим способом. Последнее уравнение можно представить в виде системы двух уравнений:

Система уравнений решается графически. Для этого необходимо построить графики функций  y₁,  y₂  и найти координаты точки пересечения. Графическое решение системы уравнений возможно (рисунок 3.15), но займет много времени, так как для достижения заданной погрешности вычислений потребует изменения масштаба графика и исследований поведения графиков функций вблизи точки пересечения.

Рисунок 3.15. - Графическое решение системы уравнений

Необходимо заметить, данное уравнение содержит один корень и не требует проведения операции отделения корней. Если уравнение имеет более одного корня, то операцию отделения корней проводить необходимо. Из рисунка 16 следует, что корень находится на отрезке [0,75; 1]. Для повышения точности решения применим метод последовательных приближений, организованный с помощью итераций.

Прежде чем приступить к оформлению и программированию задачи, необходимо задействовать специальные средства Microsoft Excel для организации циклических алгоритмов (итераций).

Командой СервисПараметрыВычисления открыть вкладку Вычисления окна диалога Параметры (рисунок 3.16) и установить:

1. Селективный переключатель Вычисления в положение Вручную.

2. В поле Относительная погрешность значение заданной погрешности 0,001;

3. В поле Предельное число итераций максимальное число итераций 32 767. Это позволит избежать ограничения числа итераций, прежде чем будет выполнено условие Относительная погрешность<0,001;

4. Включить переключатель с флажком Итерации.

5. Нажать кнопку OK.

Для нахождения корня методом приближенных вычислений необходимо заполнить рабочий лист в соответствии с рисунком 3.16.

В ячейку B2 помещена расчетная формула =(1+COS(A2))/2.

Рисунок 3.16. - Заполнение рабочего листа

Значение, вычисленное в ячейке В2, поступает в ячейку A2 (A2=B2), и с учетом нового значения A2 рассчитывается новое значение в ячейке B2. То есть, ячейки A2 и B2 связаны между собой циклическими ссылками. Итерационный процесс будет происходить до тех пор, пока содержимое ячеек A2 и B2 не станет отличаться друг от друга на величину заданной относительной погрешности (рисунок 3.17).

Запуск программы в работу осуществляется нажатием на клавишу F9. Для повышения точности расчета клавишу F9 необходимо нажимать до тех пор, пока не прекратятся изменения чисел в ячейках (рисунок 3.17).

Рисунок 3.17.- Решение найдено

Ответ. Данное уравнение имеет единственный корень x = 0,835 43.

Задание. Данный алгоритм (способ) приближенных вычислений целесообразно использовать, если уравнение имеет единственный корень. Усовершенствуйте алгоритм, чтобы он позволял данным способом находить в заданном уравнении несколько корней, если таковые имеются.

Задача 4. Дана функциональная зависимость давления воздуха от высоты: . На какой высоте давление воздуха будет равно 5 000 Па? На какой высоте давление воздуха будет равно нулю с погрешностью 0,001?

Формализация

Из справочника по физике почерпнем дополнительные сведения:

 = 0,029 кг/моль — молярная масса воздуха;

g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения на Земле;

R =  8,31 Дж/(моль·K) — универсальная газовая постоянная;

T = 300 K — температура воздуха по шкале Кельвина;

P₀ = 101 325 Па — нормальное атмосферное давление.

Для упрощения расчетов считается, что T = const и g = const.

На рисунке 3.18 представлен рабочий лист с данными.