- •Экономико-математические методы и модели
- •Содержание
- •Лекция 1. Теоретические основы экономико-математического моделирования
- •1 Объекты изучения и методы исследования курса «Экономико-математические методы и модели»
- •2 Понятие экономико-математической модели и моделирования
- •3 Классификация экономико-математических моделей
- •4 Основные этапы экономико-математического моделирования
- •5 Программное обеспечение экономико-математического моделирования
- •Лекция 2. Система экономико-математических моделей оптимального планирования и управления
- •1 Понятие оптимизационных задач и оптимизационных моделей
- •2 Методика построения оптимизационной модели
- •3 Основные типы линейных экономико-математических моделей
- •1.3 Модели рационального распределения материальных ресурсов. В общем виде данная задача может быть сформулирована следующим образом:
- •Лекция 3. Экономико-статистическое моделирование и прогнозирование
- •1 Понятие экономико-статистической модели
- •2 Основные инструменты анализа экономических данных1
- •3 Применение корреляционного анализа для решения экономических задач1
- •4 Применение регрессионного анализа для решения экономических задач1
- •5 Трендовые модели прогнозирования экономических процессов
- •Лекция 4. Модели оптимального управления товарными запасами
- •1 Основные понятия экономико-математических моделей управления запасами
- •2 Модели управления однономенклатурными запасами1
- •3 Модели управления многономенклатурными запасами2
- •Лекция 5. Модели систем массового обслуживания
- •1 Понятие о системах массового обслуживания (смо)
- •2 Основные характеристики смо1
- •3 Классификация смо
- •4 Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания
- •Лекция 6. Методы и модели сетевого планирования и управления
- •1 Особенности и назначение систем сетевого планирования и управления
- •2 Основные понятия, определения и графические обозначения спу
- •3 Правила построения сетевых графиков
- •4 Основные параметры сетевых моделей и методы их расчета
- •5 Постановка задач для решения методами спу
- •6 Виды и сущность оптимизации сетевых моделей
- •Лекция 7. Экономико-математические методы и модели теории игр
- •1 Предмет и задачи теории игр
- •2 Матричные игры с нулевой суммой
- •3 Решение матричных игр в чистых стратегиях
- •4 Решение матричных игр в смешанных стратегиях
- •5 Решение статистических игр по различным критериям
- •Лекция 8. Модели межотраслевого баланса
- •1 Общие понятия балансового метода
- •2 Принципиальная схема межотраслевого баланса
- •3 Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •Литература
4 Решение матричных игр в смешанных стратегиях
Обозначим через р1, ..., рm вероятности, с которыми игрок А использует в ходе игры свои чистые стратегии A1, ..., Аm. Для вероятностей рi выполняются условия:
. (7.3)
Упорядоченное множество , элементы которого удовлетворяют условиям (7.3), полностью определяет характер игры игрокаА и называется его смешанной стратегией. Таким образом, смешанной стратегией игрока А является полный набор вероятностей применения его чистых стратегий. Механизм случайного выбора чистых стратегий, которым пользуется игрок А, обеспечивает ему бесконечное множество смешанных стратегий. Любая его чистая стратегия Аi может рассматриваться как частный случай смешанной стратегии, i-я компонента которой равна 1, а остальные равны 0, т. е. р = (0; ...; 1; ...; 0).
Аналогично, упорядоченное множество , элементы которого удовлетворяют соотношениям
, (7.4)
является смешанной стратегией игрока В. Игрок В, как и игрок А, располагает бесконечным множеством смешанных стратегий.
Итак, пусть игроки А и В применяют смешанные стратегии р и q. Это означает, что игрок А использует стратегию Ai с вероятностью pi, а игрок В - стратегию Вj с вероятностью qj. Поскольку игроки выбирают свои чистые стратегии случайно и независимо друг от друга, то вероятность выбора комбинации (Аi; Вj) будет равна произведению вероятностей pi и qj. При использовании смешанных стратегий игра приобретает случайный характер, случайной становится и величина выигрыша игрока А (проигрыша игрока В). В связи с этим можно вести речь лишь о средней величине (математическом ожидании) выигрыша (проигрыша). Ясно, что эта величина является функцией от смешанных стратегий р и q и определяется по формуле
. (7.5)
Функция (7.5) называется платежной функцией игры с матрицей, заданной таблицей 7.2.
Таблица 7.2 - Платежная матрица игры
-
Аi
Вj
pi
В1
…
Вn
А1
а11
…
a1п
p1
…
…
…
…
…
Am
am1
…
amn
pm
qj
q1
…
qn
Нижней ценой игры будем называть число α, определяемое по формуле ,a верхней ценой игры – число β, определяемое по формуле .
Оптимальными являются смешанные стратегии р* и q* игроков А и В, удовлетворяющие равенству
==(7.6)
Величину , полученную по формуле (7.6), называютценой игры v.
5 Решение статистических игр по различным критериям
Статистические игры (игры с природой) – это парные матричные игры, в которых сознательный игрок А (статистик), заинтересованный в наиболее выгодном для него исходе игры, выступает против участника, совершенно безразличного к результату игры (природой П).
Статистик может использовать несколько стратегий A1, ..., Аm. Природа также обладает множеством стратегий (состояний) П1, ..., Пn. Под состоянием природы понимается полная совокупность внешних условий, в которых статистику приходится выбирать свою стратегию.
В своих взаимоотношениях с природой статистик может пользоваться как чистыми стратегиями Ai, так и смешанными стратегиями . Если он имеет возможность оценить последствия применения каждой своей чистой стратегииАi в зависимости от любого состояния Пj природы, т. е. если ему известен численный результат aij для каждой допустимой комбинации (Ai; Пj), то статистическую игру можно задать платежной матрицей [аij] (таблица 7.3).
Таблица 7.3 - Платежная матрица игры
-
Аi
Пj
рi
П1
…
Пn
А1
а11
…
a1п
р1
…
…
…
…
…
Am
am1
…
amn
рm
βj
β1
…
βn
Часто построение платежной матрицы является трудоемким этапом подготовки принятия решения. Поэтому при анализе игры с природой вводится показатель, позволяющий оценить, насколько то или иное состояние природы влияет на исход ситуации. Этот показатель называется риском.
Риском rij статистика, когда он пользуется чистой стратегией Аi при состоянии Пj природы, называется разность между максимальным выигрышем , который он мог бы получить, достоверно зная, что природой будет реализовано именно состояние Пj, и тем выигрышем aij, который он получит, используя стратегию Аi, не зная, какое из состояний Пj природа действительно реализует. То есть элементы матрицы рисков определяются по формуле
(7.7)
где βj – максимально возможный выигрыш статистика при состоянии Пj (максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы (таблица 7.4)), т. е. .
Таблица 7.4 - Платежная матрица игры
-
Аi
Пj
П1
…
Пn
А1
r11
…
r1п
…
…
…
…
…
Am
rm1
…
rmn
qj
q1
…
qn
Решение статистической игры может находиться либо в смешанных стратегиях, либо в чистых стратегиях.
Учитывая специфику статистических игр, при поиске оптимальных решений обращаются к различным критериям, дающим некоторую логическую схему принятия решения. Поскольку критерии формулируются на основе здравого смысла, интуиции и практической целесообразности, то они помогают оценить принимаемое решение с различных позиций, что позволяет избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.
Применяется две группы критериев, использующих и не использующих априорные вероятности qj состояний природы. К первой группе относятся критерии Байеса и Лапласа.
В качестве оптимальной по критерию Байеса принимается чистая стратегия Аi, при которой максимизируется средний выигрыш статистика
, (7.8)
то есть обеспечивается . (7.9)
Если статистику представляются в равной мере правдоподобными все состояния Пj природы, то , и оптимальной по критерию Лапласа считается чистая стратегия Аi, обеспечивающая
. (7.10)
Ко второй группе критериев, применяемых при неизвестных априорных вероятностях состояний природы, относятся критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.
Критерий Вальда – это максиминный критерий, который является критерием крайнего пессимизма, так как здесь статистик исходит из предположения, что природа «действует» против него наихудшим образом, т. е. реализует такие состояния Пj, при которых величина его выигрыша принимает наименьшее значение. Оптимальной по критерию Вальда считается чистая стратегия Аi, при которой наименьший выигрыш статистика будет максимальным, то есть ему обеспечивается максимин
Для смешанных стратегий критерий Вальда формулируется так: оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой минимальный средний выигрыш статистика будет максимальным, то есть стратегия р*, найденная из условия
Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, является критерием крайнего пессимизма. Оптимальной по критерию Сэвиджа считается та чистая стратегия Аi, при которой минимизируется величина ri максимального риска, то есть обеспечивается .
Для смешанных стратегий критерий Сэвиджа формулируется так: оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой максимальный средний риск статистика минимизируется, то есть стратегия р*, найденная из условия .
Критерий Гурвица, называемый критерием пессимизма-оптимизма, рекомендует рассчитывать на нечто среднее. Оптимальной по критерию Гурвица считается чистая стратегия Аi, найденная из условия где принадлежит интервалу (0; 1) и выбирается из субъективных соображений.
При = 1 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего пессимизма Вальда, а при= 0 — в критерий крайнего оптимизма.
Надо отметить, что анализ практических ситуаций следует проводить по нескольким критериям, что позволит глубже вникнуть в суть явления и выбрать обоснованное решение.