- •Содержание
- •Тема 1. Множества
- •1.1.Основные понятия
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Геометрическое моделирование множеств. Диаграммы Венна
- •1.4. Алгебра множеств. Основные тождества алгебры множеств
- •Основные тождества алгебры множеств
- •1.5. Эквивалентность множеств
- •1.6. Счетные множества
- •1.7. Множества мощности континуума
- •Контрольные вопросы к теме 1
- •Тема 2. Отношения. Функции
- •2.1. Отношения. Основные понятия и определения
- •2.2. Операции над отношениями
- •2.3. Свойства отношений
- •2.4. Функции. Основные понятия и определения
- •Способы задания функций
- •Контрольные вопросы к теме 2
- •Тема 3. Графы
- •3.1. Основные характеристики графов
- •3.2. Матричные способы задания графов
- •Основные свойства матриц смежности и инцидентности
- •3.3. Изоморфизм графов
- •3.4. Маршруты, циклы в неориентированном графе
- •3.5. Пути, контуры в ориентированном графе
- •3.6. Связность графа
- •3.7. Экстремальные пути в нагруженных ориентированных графах
- •3.8 Алгоритм Форда – Беллмана нахождения минимального пути Предполагается, что ориентированный граф не содержит контуров отрицательной длины.
- •3.9. Алгоритм нахождения максимального пути
- •3.10. Деревья.. Основные определения
- •3.11. Минимальные остовные деревья нагруженных графов
- •Контрольные вопросы к теме 3
- •Тема 4. Булевы функции
- •4.1. Определение булевой функции
- •4.2. Формулы логики булевых функций
- •4.3. Равносильные преобразования формул
- •Основные равносильности булевых формул.
- •Правило равносильных преобразований
- •4.4. Двойственность. Принцип двойственности.
- •4.5. Булева алгебра (алгебра логики). Полные системы булевых функций
- •4.6. Нормальные формы
- •4.7. Разложение булевой функции по переменным
- •4.8. Минимизация формул булевых функций в классе дизъюнктивных нормальных форм
- •4.9. Применение алгебры булевых функций к релейно-контактным схемам
- •Контрольные вопросы к теме 4
- •Ответы на контрольные вопросы
- •Тема 2.
- •Тема 3.
- •Тема 4.
- •Указания к выполнению лабораторных работ
- •Контрольные задания по курсу "Дискретная математика".
- •1. Раздел «Множества»
- •2. Раздел «Отношения. Функции»
- •3. Раздел «Графы»
- •4. Раздел «Булевы функции»
- •Варианты заданий
- •Вопросы к экзамену по дисциплине «Дискретная математика»
- •Список рекомендованной литературы
- •Краткие сведения о математиках
4. Раздел «Булевы функции»
Для данной формулы булевой функции
а) найти ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ методом равносильных преобразований;
б) найти СДНФ, СКНФ табличным способом (сравнить с СДНФ, СКНФ, полученными в пункте “а”);
в) указать минимальную ДНФ и соответствующую ей переключательную схему.
Варианты заданий
Функция |
Функция |
1. ((x V y) z) V x&y&z 2.(x&(y (xVz))) 3. (x (z&(y ~ x))) 4.(x~y) (xVz) 5.(x y) V (y z) 6. (x&y) ((x&z) ~ x) 7. (y x) ~(x z) 8. (x&y) ((xVz) & y) 9. (x~y) (xVz) 10. (x& y) ((xVz) y) 11.x (y (z y&z)) 12. ((y& z) (xVz)) y 13. (x&(y (x ~ z))) 14. (x (x&(yV(x ~y)Vx))) 15. (x z) V (y ~ z) |
16. (x~y) (xVz) 17. x&y (x&z (xVy)) 18. (y x) ~(x z) 19. (x&y z) (x ~ z) 20. (x&y z) (x y) 21. x (y (z ~x)) 22. y&z (xVz&y) 23. (x&(y (z ~ y))) 24. x (x&(yV(x ~z))) 25. (x y)V (y&(x~z)) 26. (x ~ y) (x ~z) 27. (x y) (x&z) 28. x (z (x Vy&z)) 29. x&(y (z ~ y)) 30. (x z) V (y ~ z) |
Вопросы к экзамену по дисциплине «Дискретная математика»
1. Основные понятия теории множеств: множества, подмножества, пустое множество, универсальное множество, множество-степень.
2. Способы задания множеств.
3. Операции над множествами.
4. Геометрическое моделирование множеств. Диаграммы Эйлера - Венна.
5. Алгебра множеств. Основные тождества алгебры множеств.
6. Эквивалентность множеств. Свойство транзитивности. Мощность множества.
7. Мощность объединения конечных множеств.
8. Эквивалентность множества точек отрезков и интервалов. Теорема Бернштейна.
9. Счетные множества. Теоремы о счетных множествах.
10. Мощность множества точек отрезка [0, 1]. Теорема Кантора.
11. Множества мощности континуума. Теоремы о множествах мощности континуума.
12. Отношения. Основные понятия и определения. Бинарные отношения. Область определения, область значений и область задания бинарного отношения.
13. Операции над отношениями. Обратное отношение, Композиция отношений.
14. Свойства отношений. Рефлексивность, симметричность, транзитивность, эквивалентность.
15. Классы эквивалентности. Разбиение множеств.
16. Отношение частичного порядка.
17. Функция как бинарное отношение. Область определения и область значений функции. Равенство функций.
18. Сюръективные, инъективные, биективные функции.
19. Обратная функция. Композиция функций.
20. Способы задания функций.
21. Определение графа. Различные типы графов.
22. Матричные способы задания графов.
23. Изоморфизм графов.
24. Маршруты, циклы в неориентированном графе.
25. Пути, контуры в ориентированном графе.
26. Связность неориентированного графа. Матрица связности.
27. Связность ориентированного графа. Матрицы односторонней и сильной связности..
28. Экстремальные пути в нагруженных ориентированных графах.
29. Алгоритм Форда – Беллмана нахождения минимального пути.
30. Деревья. Остовные деревья.
31. Минимальное остовное дерево. Алгоритм Краскала.
32. Определение булевой функции. Операции над булевыми функциями.
33. Формулы логики булевых функций.
34. Равносильные преобразования формул булевых функций.
35. Двойственность. Принцип двойственности.
36. Булева алгебра (алгебра логики). Полные системы булевых функций.
37. Нормальные формы формул булевых функций.
38. Разложение булевой функции по переменным.
39. Алгоритм Квайна построения сокращенной ДНФ.
40. Алгоритм Квайна – Мак-Класки построения сокращенной ДНФ.
41. Алгоритм построения минимальной ДНФ с помощью таблицы покрытий.
42. Применение алгебры булевых функций к релейно-контактным схемам.