§ 1.6. Механические колебания

Колебания – это процессы, периодически повторяющиеся во времени. Условия возникновения колебательного движения: 1). наличие устойчивого положения равновесия системы, 2). инертность системы, 3). возвращающая квазиупругая сила F, направленная к положению равновесия.

Как правило, возвращающая сила F является равнодействующей нескольких сил. Примеры:

N FH F F mg mg Рис. 2.1 Рис. 2.2

На рисунке 2.1 (математический маятник) сила F – это равнодействующая силы тяжести mg и силы натяжения нити F_H, на рисунке 2.2 (шарик в чашке) – это равнодействующая силы тяжести mg и силы реакции опоры N, на рисунке 2.3 (шарик на пружине) – это равнодействующая силы тяжести mg и силы упругости пружины F_упр.

При отклонении от положения равновесия колеблющееся тело под действием возвращающей силы движется к положению равновесия, по инерции проходит его, отклоняясь в другую сторону, после чего весь процесс происходит в обратном направлении.

Гармоническое колебание – это такое, когда смещение от положения равновесия x изменяется по закону синуса или косинуса.

Условие возникновения гармонического колебания – это малые смещения системы от положения равновесия, когда квазиупругая сила прямо пропорциональна смещению, т.е.

F = - kx,

(2.1)

где F - квазиупругая сила в СИ (H)

x - смещение от положения равновесия (м)

к - коэффициент, зависящий от вида сил (H/м)

Знак минус в (2.1) показывает, что возвращающая сила направлена противоположно смещению.

Fупр mg Рис. 2.3

Уравнение второго закона Ньютона для колеблющегося тела

ma = F,

(2.2)

где m – масса тела в СИ (кг)

–ускорение тела (м/с2)

(2.3)

Подставляя (2.1) и (2.3) в уравнение (2.2), получаем

или

(2.4)

Уравнение (2.4.) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний

,

(2.5)

где ω₀ – циклическая частота собственных колебаний (рад/с)

(2.6)

Здесь T – период колебаний, т.е. время одного полного колебания (с)

ν - частота колебаний, т.е. число колебаний в секунду (с^-1)

Учитывая (2.5), уравнение (2.4) можно записать в виде

(2.7)

Решением дифференциального уравнения (2.7) будет гармонический закон, т.е. sin или cos

Пусть x = A cos (ω0t + φ)

(2.8)

Здесь А – амплитуда колебаний, т.е. максимальное смещение системы от положения равновесия (м)

φ – начальная фаза колебаний (рад), зависящая от состояния системы в начальный момент времени при t = 0

x A t T V Vmax t a amax t Wk t Wп t Рис. 2.4

(2.9)

Скорость V и ускорение а тела также изменяются по гармоническому закону

(2.10)

При этом максимальное значение скорости колеблющегося тела (м\с)

Vmax = Aω0

(2.11)

максимальное значение модуля ускорения (м\с²)

amax = Aω02

(2.12)

Кинетическая энергия колеблющегося тела

Wk = ½ m2 = ½ mA2 ω02 sin2 (ω0t+φ) (Дж)

(2.13)

Потенциальная энергия (учитывая, что сила квазиупругая)

Wп = ½ kx2 = ½ kA2 cos2 (ω0t+φ) (Дж)

(2.14)

Полная энергия системы при гармонических колебаниях с учётом (2.5)

W= Wk + W п =½ kA2 = ½ mω02 A2

(2.15)

На рисунке (2.4) приведены графики зависимости от времени смещения х, скорости V, ускорения а, кинетической W_k и потенциальной W_п энергии гармонических колебаний при начальной фазе φ = 0.

Из рисунка (2.4) видно, частота изменения кинетической W_k и потенциальной W_п энергии при гармонических колебаниях вдвое больше частоты изменения смещения х, скорости V и ускорения а.