- •Глава 6. Производные и дифференциалы
- •§ 6.1. Производная и её основные свойства
- •6.1.1. Дифференцируемость функции
- •6.1.2.Производная
- •6.1.3. Касательная к графику функции
- •§ 6.2. Вычисление производных
- •6.2.2. Производные элементарных функций
- •6.2.3. Производная обратной функции
- •6.2.4. Производные обратных тригонометрических функций
- •6.2.5. Производная сложной функции
- •6.2.6. Производная функции, заданной параметрически
- •§6.3. Дифференциал
- •6.3.1.Понятие дифференциала числовой функции
- •6.3.2. Геометрический и механический смысл дифференциала
- •6.3.3. Инвариантность формы первого дифференциала
- •6.3.4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций
- •§6.4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •6.4.1. Последовательные производные
- •6.4.3. Линейное свойство производных высших порядков
- •6.4.5. Вторая производная функции , заданной параметрически
- •6.4.6. Дифференциалы высших порядков
- •§ 6.5. Эластичность и её свойства
6.2.2. Производные элементарных функций
.
1.Производная степенной функции , (где− любое вещественное число).
Область определения этой функции зависит от . Произведём рассуждения, предполагая, что, хотя аналогичные рассуждения справедливы в естественной области определения рассматриваемой функции. Имеем (при )
.
При пользуясь пределом
,
вычисленным в теореме 4.8 ,получим, полагая и замечая, что при такой замене выполнены условия теоремы о пределе сложной функции,
. Следовательно,
.
2.Производная показательной функции (,). Здесь
.
Используя предел
,
вычисленный в теореме 4.8, найдём:
.
В частности, если , то и.
Таким образом, скорость возрастания показательной функции ( при ) пропорциональна значению самой функции. Это характеризует рост показательной функции.
3. Производная логарифмической функции (,). В этом случае
.
Воспользуемся пределом
вычисленным в теореме 4.8:
.
Для натурального логарифма получается совсем простая формула:
при имеем.
4.Производные тригонометрических функций. Пусть , тогда
.
Функция непрерывна, кроме того,, поэтому
.
Аналогично, если , то.
В случае применима теорема 6.2.1 , по которой
Аналогично,
если , то.
6.2.3. Производная обратной функции
Докажем следующую общую теорему.
Теорема 6.2.2. Пусть функция возрастает(или убывает) и непрерывна на некотором промежутке и в точкеэтого промежутка имеет иотличную от нуля производную . Тогда для обратной функциив соответствующей точкетакже существует производная, равная.
Доказательство. Придадим значению приращение, тогда соответствующее приращениеполучит и функция. При, ввиду монотонности функции, также и. Поэтому
.
Если теперь , то, вследствие непрерывности функции, также и. Но знаменатель правой части стремится к пределу, следовательно, существует предел и для левой части, равный обратной величине. По определению, он равен производной.
Итак,
.
Легко выяснить геометрический смысл этой формулы. Производная есть тангенс угла, образованного касательной к графику функциис осью. График обратной функциисовпадает с графиком функциии имеет ту же касательную. Поэтому производнаяравна тангенсу угла, составленного той же касательной с осью(см. рис.) Таким образом, выведенная формула означает, что
.
.
Рассмотрим, например, функцию. Обратной для неё функцией является. Так как, то
, что и было установлено в 6.2.2 другим способом.
Доказанная формуларавносильна формуле.
6.2.4. Производные обратных тригонометрических функций
Рассмотрим функцию (). Для неё выполнены неравенства. Она является обратной для функции, имеющей для указанных значенийположительную производную. В таком случае существует также производнаяи равна, по нашей формуле,
;
корень мы берем со знаком плюс, так как при выполняется неравенство. Мы исключили значения, ибо для соответствующих значенийпроизводная.
Функция () служит обратной для функций. По нашей формуле
.
Аналогично можно получить:
производная функцииравна(),
производная функцииравна().
6.2.5. Производная сложной функции
Теорема 6.2.3.(Теорема о производной сложной функции). Пусть функция определена в окрестности точкии имеет в этой точке производную. Пусть функцияопределена в окрестностии имеет в точкепроизводную
Тогда сложная функция имеет производную, равную
.
Доказательство. Придадим приращениетакое, что соответствующее значениепринадлежит окрестности точки, в которой определена функция. Так как, по условию, дифференцируема в точке,
, где прии.
Так как дифференцируема в точке, выполнено равенство
,где . Как установлено в теореме 6.1.1, если, то и.
Поэтому
Так как при и,функции,−бесконечно малые, из этого равенства следует, что
что и требовалось доказать.