- •И.В. Сабаев, г.Н. Егорова
- •Основы начертательной геометрии
- •1.2.1.Свойства параллельной проекции
- •1.3. Ортогональная проекция
- •3.1.Положение прямой относительно плоскостей проекций
- •3.2.Способы преобразования чертежа
- •3.2.1.Способ вращения
- •3.2.2.Способ перемены плоскостей проекций
- •4.1.Способ вращения
- •4.2.Способ перемены плоскостей проекций
- •4.3.Взаимное расположение двух прямых
- •Параллельные прямые
- •4.4.Ортогональная проекция прямого угла
- •5.1.Положение плоскости относительно плоскостей проекций
- •5.2.Прямая и точка в плоскости
- •6.1.Определение натуральной величины плоской фигуры
- •7.2.Параллельность плоскостей
- •7.3.Перпендикулярность прямой и плоскости
- •8.1.Пересечение двух плоскостей
- •9.1.Пересечение гранных поверхностей проецирующими плоскостями
- •9.2.Пересечение тел вращения проецирующей плоскостью
- •9.3.Кривые второго порядка
- •Сабаев Игорь Витальевич егорова Галина Николаевна
- •394000 Воронеж, пр. Революции, 19
1.2.1.Свойства параллельной проекции
Проекцией точки является точка.
Проекцией прямой линии является прямая.
Если точка лежит на прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой.
Если прямая параллельна направлению проецирования, то она спроецируется в точку.
Отрезок прямой, параллельный плоскости проекции, проецируется на плоскость в натуральную величину.
AB // пл. P
A1В1 = AB как параллельные
отрезки между параллельными прямыми.
Проекции параллельных прямых параллельны между собой.
A1B1 // C1D1
AB // CD.
Если предположить, что A1B1и C1D1пересекаются, то точка пересечения была бы в пересечении самих прямых AB и CD, но это противоречит условию, что AB параллельна CD.
Отношение отрезков прямой равно отношению их проекций.
; так как AA1//BB1//CC1(деление отрезка на равные части).
Середина отрезка проецируется в середину проекции отрезка.
Отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их
проекций.
AB//CD. Проведем вспомогательные линии FB//A1B1и ED//С1D1.
Из подобия треугольников AFB и CED как треугольников с параллельными сторонами имеем:
AB = FB ; AB = A1B1
CD ED CD C1D1
1.3. Ортогональная проекция
Еще большее упрощение дает применение ортогонального проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно плоскости проекции. В этом случае нетрудно установить соотношение между длиной натурального отрезка и длиной его проекции.
Если AB образует с плоскостью проекции угол , то, но FB параллельна и равна A1В1, следовательно,.
Рассмотренные методы проецирования позволяют однозначно решать прямую задачу, т.е. по оригиналу строить чертеж, но обратная задача - воспроизведение по чертежу оригинала не решается, т.е. рассмотренные методы не обладают свойством обратимости. Поэтому воспользуемся некоторыми дополнениями к ортогональному проецированию и разберем так называемый комплексный чертеж.
Лекция 2.ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
Две взаимно перпендикулярные плоскости проекции горизонтальная – П1и фронтальная - П2, пересекаясь, образуют ось ОХ и делят пространство на четыре четверти I,II,III,IV. Плоскости не прозрачны и бесконечны. Наблюдатель находится в I четверти. Спроецируем на плоскости проекции какую- либо точку A и получим две ее проекции: горизонтальную - A1и фронтальную A2. Условимся в дальнейшем точки в пространстве обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C,…, а их проекции теми же буквами с индексами A1, B1, C1,…- горизонтальные и A2, B2, C2,…- фронтальные.
Такая система является обратимой, т.к. восставив перпендикуляры из точек A1и A2– в пересечении получим точку A. Для получения плоского чертежа совмещаем плоскость П1с П2, вращая ее вокруг оси ОХ. Такой чертеж и называется комплексным чертежом или эпюром.
Точка A лежит в I четверти пространства.
А2А1- линия связи,
А2Ах- высота точки,
А1Ах- глубина точки.
Горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси проекции ОХ.
Для примера: точка B лежит во II четверти пространства на одинаковом расстоянии от плоскостей проекции, точка С лежит в IV четверти пространства.
2.1. Ортогональная система трех плоскостей проекции.
Прямоугольная система координат в пространстве
Комплексный чертеж, состоящий из ортогональных проекций, является
обратимым чертежом. Однако реконструкция оригинала, у которого имеются
профильные элементы, становится проще, если имеется еще одна проекция на третью плоскость. Назовем ее профильной плоскостью проекции - П3и
проекции точек на нее A3, B3, C3,…
Три координатные плоскости делят пространство на 8 октантов. У первого
октанта все три координатные оси имеют положительные направления.
ОАх- абсцисса точки - широта.
ОАу- ордината точки - глубина.
ОАz- аппликата точки - высота.
Точка задается координатами
А (х, у, z). Фронтальная и профильная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси проекции OZ.
Лекция 3.ПРЯМАЯ