Методы построения функций принадлежности нечетких множеств

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого xE значение _A(x), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д.

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений, в которых указываются не абсолютные значения функции принадлежности для каждого х, а, например, величины отношений _A(x_i) /_A(x_j). Результат попарных сравнений можно представить матрицей отношений A = {a_ij}, где a_ij = _A(x_i) /_A(x_j). (операция деления). Далее матрица А обрабатывается с помощью специальных методов, анализирующих степень согласованности оценок разных пар, после чего вычисляется абсолютные значения функции принадлежности для каждого х_i. Например, доказано, что хорошая оценка получается, если положить _A(x_i) равными компонентам собственного вектора матрицы А.

Задание. Пусть E = {1, 2, 3, ..., 100} и соответствует понятию “возраст“. Прямым методом построить нечеткие множества

а) “пожилой”;

б) “пора замуж”.

2. Операции над нечеткими множествами

1. Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на универсальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если x E _A(x) > _B(x). Обозначение: A  B.

2. Равенство. A и B равны, если xE _A(x) = _B(x). Обозначение: A = B.

3. Дополнение. Пусть  = [0, 1], A и B – нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если xE _A(x) = 1 – _B(x). Обозначение: B = или A =. Очевидно, что.

4. Пересечение. AB – наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B;

_{A  B}(x) = min{_A(x), _B(x)}.

5. Объединение. А  В – наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности

_{A B}(x) = max {(_A(x), _B(x)}.

6. Разность. А \ B = А с функцией принадлежности:

_A\B(x) = min { _A(x), 1 – _B(x)}.

Например, пусть: A = 0,4/ x₁  0,2/ x₂  0/ x₃  1/ x₄;

B = 0,7/ x₁  0,9/ x₂  0,1/ x₃ 1/ x₄; C = 0,1/ x₁  1/ x₂  0,2/ x₃  0,9/ x₄.

Здесь:

1. A  B, т.е. A содержится в B, С несравнимо ни с A, ни с B.

2. A  B  C.

3. = 0,6/ x₁  0,8/ x₂  1/ x₃  0/ x₄; = 0,3/ x₁  0,1/ x₂  0,9/ x₃  0/ x₄.

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения _A(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Рис. 1. Рис. 2

 

  Рис. 3. Рис. 4.

На рис. 1 темная часть соответствует нечеткому множеству A. На Рис. 2 – 4 даны , A , A , соответственно.