3. Разбиение и эквивалентность

Def. Система (конечная или бесконечная) непустых подмножеств А₁, A₂,..., А_n... множества А называется разбиением, если:

1) объединение множеств А_i образуют все A (т.е. А_i=А);

2) множества А_i попарно не пересекаются (т.е. для любых ij справедливо А_i  A_j =  ).

Теорема о разбиении. Отношение I АА, будет отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда существует разбиение А₁, А₂,..., А_n,... множества А, что из xIy следует существование такого А_i, что x, yА_i.

Другими словами, отношение I является отношением эквивалентности в том и только в том случае, когда множество А можно разбить на пересекающиеся классы, в каждом из которых все элементы эквивалентны между собой. Такие классы называют классами эквивалентности или фактор-множествами.

Доказательство. Предположим, что I – отношение эквивалентности, т.е. оно является рефлексивным, симметричным, транзитивным. Наша задача – построить такое разбиение, чтобы между элементами каждого класса выполнялось отношение I. Введем для каждого xА множество В_x, состоящее из элементов эквивалентных х, т.е. В_x = {zA | xIz }.

Покажем, что два любых множества B_x и B_y либо совпадают, либо не пересекаются. Пусть zB_x  B_y. Это означает, что одновременно zIx и zIy. Тогда, в силу симметричности и транзитивности, получаем xIy. Пусть теперь v – произвольный элемент из B_x, т.е. выполнено отношение vIx. Тогда, вследствие транзитивности отношения I и соотношения xIy, получим vIy, т.е. vB_y. Точно также можно доказать, что если vB_y, то vB_x. Это означает, что всякий элемент v из B_x одновременно принадлежит и B_y и наоборот. Следовательно, два множества B_x и B_y, имеющие хотя бы один общий элемент, совпадают между собой.

Наконец, в силу того, что множества B_x построены для всех элементов х из A, и, в силу рефлексивности I, элемент х принадлежит своему множеству B_x, объединение B_x включает в себя все множество A. Это означает, что система {B_x} образует разбиение A, т.е. в одну сторону теорема доказана.

Докажем обратное. Пусть имеем разбиение множества А на непересекающиеся классы. Определим отношение I следующим образом: элемент x находится с элементом y в отношении I тогда и только тогда, когда они оба принадлежат одному классу. Тогда это отношение обладает свойством рефлексивности, т.к. сам элемент х принадлежит классу, элементом которого является.

Обладает отношение I и свойством симметричности, т.к. если x и y принадлежат какому-то классу, то это же можно сказать и про y и x.

Наконец, если имеют место отношения xIy и yIz, то это значит, что x, yB и y, zB, где B – какой-то класс. Таким образом, x, zB, т.е. между x и z установлено отношение I. Следовательно, I обладает транзитивностью. Значит, I – отношение эквивалентности. Теорема полностью доказана.

4. Качественный порядок

Дополним отношение строгого упорядочения P_уп свойством транзитивности. Назовем полученное отношение качественным порядком P_кач. Рассмотрим два примера такого отношения.

1) Пусть х, у – вещественные числа. Введем качественный порядок следующим соотношением:

хР_качу  x > у + 1.

Очевидно, что в данном случае отношение Р_кач асимметрично и транзитивно, но оно не является негатранзитивным. Покажем это.

Дополнение к введенному отношению определим как

хР_кач у   <=>    х  у + 1

Положим у = 0; х = 0.9; z = – 0.9. Тогда, очевидно, выполняются отношения (х, y) Р_кач ; (y, z) Р_кач ; (х, z)  Р_кач. Т.е. условие негатранзитивности не выполняется.

Согласно рассмотренному примеру, а также доказанному ранее свойству транзитивности слабого порядка, можно сделать вывод, что асимметричное негатранзитивное отношение является транзитивным, но обратное не всегда верно.

2) Введем на множестве точек n-мерного евклидова пространства следующее отношение Par, называемое отношением Парето:

х, уРаr    i : х_i  y_i и   j : х_j > у_j.

Отношение Парето называется также безусловным критерием предпочтения (БКП). Оно означает, что точка x по всем координатам имеет не меньшие значения, чем точка y и хотя бы по одной координате имеется строгое превосходство. В двумерном случае данное отношение можно изобразить графически. Возможны следующие ситуации:

а) x₁ < y₁ б) x₁ > y₁ в) x₁ < y₁

x₂ > y₂ x₂ = y₂ x₂ < y₂

нет отношения Раr; есть отношение Раr, есть отношение Раr,

  x лучше y; y лучше x.

Задание. Доказать, что отношение Раr является качественным порядком.