- •Раздел II. Комбинаторика
- •Тема 1. Комбинаторные конфигурации и их приложения
- •1. Основные задачи, обозначения и правила
- •2. Простейшие конфигурации
- •2.6. Свойства чисел сочетаний
- •3. Комбинаторные конфигурации в алгебре и анализе
- •Тема 2. Комбинаторные алгоритмы
- •Тема 3. Аналитический аппарат комбинаторики
- •1. Принцип включения и исключения
- •1.2. Модификации формулы включения и исключения
- •2. Формулы обращения
- •3. Рекуррентные соотношения
- •4. Производящие функции
- •4.3. Пример использования производящих функций
- •5. Связь производящих функций с линейными рекуррентными соотношениями
5. Связь производящих функций с линейными рекуррентными соотношениями
Пусть имеем дробно-рациональную функцию
f(x) = = ,
которая разлагается в ряд f0+f1x+f2x+ …. Отсюда A(x) = B(x)f(x). Подставим вместоf(х) ее ряд – получим систему уравнений:
b0f0=a0;
b0 f1 + b1 f0 = a1;
b0 f2 + b1 f1 + b2 f0 = a2;
………………………..
b0 fm –1 + b1 fm –2 +… + bm –1 f0 = am – 1;
b0 fm + b1 fm –1 +… + bm f0 = 0;
………………………………..
b0 fm + n + b1 fm –1 + n +… + bm fn = 0;
……………………………
Во всех уравнениях, начиная с m+1-го, правая часть равна 0, т.к.am + 1 = … =am + n =…= 0. Следовательно, имеем линейное рекуррентное соотношение
b0 fm + n + b1 fm –1 + n +… + bm fn = 0, (3.13)
которому удовлетворяют члены ряда для функции f(x). Таким образом, мы получили теорему о связи производящих функций с линейными рекуррентными соотношениями:
Теорема 3.5.Для того, чтобы производящая функция числовой последовательности была правильной рациональной дробью необходимо и достаточно, чтобы члены этой последовательности удовлетворяли линейному рекуррентному соотношению, характеристическое уравнение которого совпадает со знаменателем этой дроби, записанным в обратном порядке.
Пример 3.10.Найдем производящую функцию для чисел Фибоначчи.
Решение.Имеем рекуррентное соотношение:Fn+2–F n+1–Fn = 0. Следовательно,f(x) = .Aи В легко найти с помощью деления многочленов:
Следовательно, 0 = F0=B; 1 =F1=A+B, т.е. В = 0; А = 1 или.