4. Производящие функции

4.1. Определение производящих функций.Последовательности {u_n}, фигурирующей в какой-либо задаче, например, комбинаторной, удобно поставить в соответствие формальный степенной ряд

u(x) = ,

который называется производящей функцией данной последовательности. Слова “формальный ряд” означает, что эту формулу мы трактуем только как удобную запись последовательности. Для нас сейчас несущественно, при каких значениях х ряд сходится и сходится ли вообще, т.к. вычислять значение u(x) мы никогда не будем.

Пример 3.5. Известно, что= 1 + х + х²+ … + хⁿ+ … Следовательно, функцияявляется производящей для последовательности 1,…, 1.

Пример 3.6. Согласно формуле бинома Ньютона (1 + х)ⁿ =. Следовательно, функция (1 + х)ⁿявляется производящей для конечной последовательности.

4.2. Операции с производящими функциями.Рассмотрим основные технические приемы, применяемые в работе с производящими функциями.

4.2.а. Линейная комбинация.Если функцияu(x) соответствует последовательности {u_n}, аv(x) – последовательности {v_n}, то функцияau(x) +bv(x) (aиb– константы) является производящей для последовательности {au_n+bv_n}.

4.2.б. Сдвиг.Если функцияu(x) соответствует последовательности {u_n}, то функции х^mu(x) соответствует последовательность… – сдвиг вправо.

Аналогично, функция является производящей для последовательностиu_m,u_m+1, … – сдвиг влево.

4.2.в. Умножение.Если функцияu(x) соответствует последовательности {u_n}, аv(x) – последовательности {v_n}, то функцииu(x)v(x) соответствует последовательность {w_n}, где

–формула Коши. Например, w₀=u₀v₀;w₁=u₀v₁+u₁ v₀;w₂=u₀v₂+u₁v₁+u₂v₀.

Пример 3.7.Пустьu(x) соответствует последовательности {u_n}, аv(x) =– производящая функция для последовательности 1,…, 1 (см. пример 3.5). Тогда функция

= u₀+ (u₀+u₁)x+ (u₀+u₁+u₂)x²+… (3.9)

является производящей для последовательности частичных сумм.

4.2.г. Дифференцирование и интегрирование.Еслиu(x) соответствует последовательности {u_n}, то по правилу дифференцирования рядов

u(x) = 0 +u₁+ 2u₂x+ 3u₃x²+ ….

То есть u(x) является производящей функцией для последовательности {ku_k}.

Аналогично . То естьявляется производящей функцией для последовательности.

Пример 3.8.=. Следовательно, функцияявляется производящей для последовательности {k}.

Далее,

(3.10)

Следовательно, является производящей функцией для последовательности.

Сопоставляя (3.10) с (3.9) получаем

,

где – гармонические числа.

4.3. Пример использования производящих функций

Решим с помощью производящих функций следующую комбинаторную задачу.

Пример 3.9.На окружности находится 2nточек. Сколькими способами можно их попарно соединить так, чтобы полученные отрезки не соединялись друг с другом?

Решение.Обозначимu_n – число способов соединить 2nточек. Построим рекуррентное соотношение.

Формально положим u₀= 1 (нет точек, нет пересечений, следовательно, способ единственный).u₁= 1 – очевидно, т.к. две точки соединяются единственным способом, и пересечений нет.u₂= 2. Способы соединения изображены на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Способы соединения 4-х точек

Пусть n> 1. Выберем одну из 2(n+ 1) точек, обозначим ее А. Соединим А с вершиной В, выбрав ее так, чтобы с обеих сторон от соединяющей их линии находилось четное число точек. Пусть слева будет 2kточек, справа – 2(n–k). 2kточек можно соединить между собойu_kспособами, 2(n–k) точек –u_n–kспособами. При этом линии не пересекутся, т.к. 2kи 2(n–k) точек расположены по разные сторона от АВ.

Следовательно, при фиксированном kполучимu_ku_n–kспособов соединения. Ноkменяется от 0 доn. Следовательно,

u_{n +1}=u₀u_n+u₁u_n–1+ … +u_nu₀. (3.11)

Получили искомое нелинейное рекуррентное соотношение, формула общего решения которого нам, к сожалению, неизвестна.

Чтобы получить явную формулу для u_n, построим для этой последовательности производящую функцию.

u(x) =u₀+u₁х +u₂x²+u₃x³+ …. (3.12)

Имеем, согласно формуле Коши:

[ u(x) ]² = (u₀)² + (u₀u₁ + u₁u₀ ) х + (u₀u₂ + u₁u₁ + u₂u₀)х² + …

Видно, что коэффициенты для разложения [ u(x) ]² можно получить с помощью формулы (3.11).

Из (3.12) имеем: =u₁ +u₂x+u₃x²+ ….

Подставим в эту формулу выражение u_kсогласно (3.11). С учетом того, чтоu₁= (u₀)²получим:. Следовательно, имеем квадратное уравнение относительноu(х). Решив его, получим.

По формуле бинома имеем:

++…= 1 –.

Умножим каждое k-е слагаемое на 1 =. Тогда коэффициентk-го члена ряда равен:

= ==.

Отсюда

.

Для того, чтобы коэффициенты ряда были положительными, надо перед корнем в формуле u(x) брать знак “–”. Заменим индекс суммированияkнаk+1. В результате получим:

u(x) = == .

Окончательно – это так называемые,числа Каталана.