1. Графический метод

Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения ε_i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения ε_i (либо оценки отклонений).

Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.

Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости ε_i от ε_i-1

2. Коэффициент автокорреляции.

Если коэффициент автокорреляции r_ei < 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует.

3. Критерий Дарбина-Уотсона.

Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин e_i.

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2
1.25	1.28	-0.0334	0.00111	0
1.13	1.27	-0.14	0.0194	0.0112
1.29	1.26	0.0277	0.000767	0.0279
1.22	1.26	-0.0353	0.00124	0.00397
1.28	1.23	0.0458	0.0021	0.00657
1.12	1.2	-0.0791	0.00626	0.0156
1.2	1.16	0.036	0.0013	0.0133
1.18	1.15	0.0301	0.000905	3.5E-5
1.24	1.13	0.11	0.0124	0.00657
1.15	1.12	0.0282	0.000794	0.00688
1.13	1.09	0.0363	0.00132	6.6E-5
1.17	1.03	0.14	0.0195	0.0107
0.95	1	-0.0454	0.00206	0.0342
1	0.94	0.0608	0.0037	0.0113
0.7	0.88	-0.18	0.0335	0.0594
			0.11	0.21

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 15 и количества объясняющих переменных m=1.

Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:

d₁ < DW и d₂ < DW < 4 - d₂.

Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.95 < 2.5, то автокорреляция остатков отсутствует.

Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.

По таблице Дарбина-Уотсона для n=15 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d₁ = 1.08; d₂ = 1.36.

Поскольку 1.08 < 1.95 и 1.36 < 1.95 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков отсутствует.

Проверка наличия гетероскедастичности.

1) Методом графического анализа остатков.

В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X, а по оси ординат либо отклонения e_i, либо их квадраты e²_i.

Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.

2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Присвоим ранги признаку e_i и фактору X. Найдем сумму разности квадратов d².

По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

X	ei	ранг X, dx	ранг ei, dy	(dx - dy)2
10.3	0.0334	1	4	9
10.5	0.14	2	13	121
10.6	0.0277	3	1	4
10.7	0.0353	4	5	1
11	0.0458	5	9	16
11.5	0.0791	6	11	25
12	0.036	7	6	1
12.2	0.0301	8	3	25
12.5	0.11	9	12	9
12.6	0.0282	10	2	64
13	0.0363	11	7	16
13.9	0.14	12	14	4
14.4	0.0454	13	8	25
15.2	0.0608	14	10	16
16	0.18	15	15	0
				336

Связь между признаком e_i и фактором X слабая и прямая

Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе H_i. p ≠ 0, надо вычислить критическую точку:

где n - объем выборки; p - выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена: t(α, к) - критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n-2.

Если |p| < Т_kp - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. Если |p| > T_kp - нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

По таблице Стьюдента находим t(α, k):

t(α, k) = (13;0.05) = 1.771

Поскольку T_kp > p, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначимая.

Проверим гипотезу H₀: гетероскедастичность отсутсвует.

Поскольку 2.16 > 0.45, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

3. Тест Голдфелда-Квандта.

В данном случае предполагается, что стандартное отклонение σ_i = σ(ε_i) пропорционально значению x_i переменной X в этом наблюдении, т.е. σ²_i = σ²x²_i , i = 1,2,…,n.

Тест Голдфелда-Квандта состоит в следующем:

1. Все n наблюдений упорядочиваются по величине X.

2. Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на три подвыборки размерностей k,(n-2k),k.

3. Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений).

4. Для сравнения соответствующих дисперсий строится соответствующая F-статистика:

F = S₃/S₁

Построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы v₁ = v₂ = n – m - 1.

5. Если F > F_kp, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Этот же тест может использоваться при предположении об обратной пропорциональности между σ_i и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера имеет вид:

F = S₁/S₃

1. Упорядочим все значения по величине X.

2. Находим размер подвыборки k = 15/3 = 6.

3. Оценим регрессию для первой подвыборки.

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑x = ∑y

a₀∑x + a₁∑x² = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид:

6a₀ + 64.6a₁ = 7.29

64.6a₀ + 696.44a₁ = 78.43

Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = -0.0668, a₁ = 1.93

x	y	x2	y2	x • y	y(x)	(y-y(x))2
10.3	1.25	106.09	1.56	12.88	1.25	0
10.5	1.13	110.25	1.28	11.87	1.23	0.0105
10.6	1.29	112.36	1.66	13.67	1.23	0.004
10.7	1.22	114.49	1.49	13.05	1.22	0
11	1.28	121	1.64	14.08	1.2	0.0064
11.5	1.12	132.25	1.25	12.88	1.17	0.0021
64.6	7.29	696.44	8.88	78.43	7.29	0.023

Здесь S₁ = 0.023

Оценим регрессию для третьей подвыборки.

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑x = ∑y

a₀∑x + a₁∑x² = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид:

6a₀ + 85.1a₁ = 6.1

85.1a₀ + 1215.37a₁ = 85.52

Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = -0.12, a₁ = 2.7

x	y	x2	y2	x • y	y(x)	(y-y(x))2
12.6	1.15	158.76	1.32	14.49	1.2	0.003
13	1.13	169	1.28	14.69	1.16	0.0007
13.9	1.17	193.21	1.37	16.26	1.05	0.0143
14.4	0.95	207.36	0.9	13.68	0.99	0.0016
15.2	1	231.04	1	15.2	0.9	0.0108
16	0.7	256	0.49	11.2	0.8	0.0101
85.1	6.1	1215.37	6.36	85.52	6.1	0.0405

Здесь S₃ = 0.0405

Число степеней свободы v1 = v2 = n – m - 1 = 15 - 1 - 1 = 13

Fkp(1,13) = 4.67

Строим F-статистику:

F = 0.0405/0.023 = 1.76

Поскольку F < F_kp = 4.67, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.