![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Задание: изучить и законспектировать лекцию, ответить письменно на базовые вопросы. Решить задачу №4 со своими данными. Теорему Резаля не надо.
- •1. Тонкое кольцо.
- •2. Тонкие пластины.
- •2.Теорема об изменении кинетического момента механической системы.
- •Теорема об изменении кинетического момента механической
- •3. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела относительно оси.
- •4.Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.
- •Базовые вопросы
4.Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.
Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела представляют собой совокупность уравнений поступательного движения плоской фигуры вместе с центром масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс:
,
,
.
Задача
3.
Однородный круглый цилиндр массы М
обмотан посредине тонкой нитью, конец
В
которой закреплен неподвижно. Цилиндр
падает без начальной скорости, разматывая
нить. Определить скорость оси цилиндра,
после того как он опустится на высоту
h,
и найти натяжение
нити .
Решение.
Изобразим цилиндр в произвольном
положении. Покажем силы: вес
и силу
натяжения нити . Запишем дифференциальные
уравнения плоскопараллельного движения:
;
.
Заменим
и умножим первое уравнение наR,
а затем его сложим со вторым. Получим
.
Заменим
.
После интегрирования получим
.
Так как
,
то
.
Натяжение нити
.
Задача 4. Шкив массой т = 90 кг и радиусом r = 30 см вращается с угловой скоростью ω = 20 с–1. Для его остановки на шкив оказывается действие через невесомый ремень, натяжения ветвей которого равны Т1= 40 Н и Т2 = 20 Н (рис. 55). Радиус инерции шкива ρ = 20 см. Определить время торможения шкива t1 и угол φ1, на который он повернется за это время.
Рис. 55 Рис. 56
Решение. Рассмотрим все силы, действующие на шкив и прилежащую к нему часть ремня: силы натяжения ветвей ремня Т1 и Т2 , силу тяжести шкива G, составляющие реакции в подшипниках Х0 и У0 (рис. 56). Применим к шкиву дифференциальное уравнение вращательного движения относительного его оси z
.
Здесь
кгм2
— осевой момент инерции шкива. Стоящий
в правой части уравнения главный
момент внешних сил относительно оси
вращения обозначим для
краткости
.
Он будет в данном случае равен
Нм,
поскольку силы G,
Х0
и У0
имеют
нулевые моменты относительно оси z
(моменты
сил, действующих по движению, должны
браться со знаком «плюс», а против
движения — со знаком «минус»).
Таким образом, дифференциальное уравнение вращательного движения имеет вид
Для интегрирования
этого уравнения делим переменные,
учитывая что
=const
и Jz
= const
, (*)
после чего в левой и правой частях ставим интегралы.
После интегрирования , получим
,
oткуда
,
где постоянная
интегрирования C1
может быть найдена из начального условия
ω
= ω0
при
t
= 0. Подставив
в уравнение эти значения, получим
Jz,
и тогда
Jz,
откуда
.
Используя последнее соотношение, можно найти время торможения шкива, т. е. время tl за которое угловая скорость обратится в ноль
и тогда
Для определения угла поворота φ, заменив в уравнении для угловой скорости ω=dφ/dt, получим
Деля здесь переменные
и интегрируя с использованием определенных
интегралов (учитывая, что φ
= 0 при
t
= 0), находим
откуда
.
Окончательно имеем
рад,
что соответствует числу
N
оборотов шкива:
=
19,1 оборотов.
Ответ: t1 = 12 с; φ1 = 120 рад.