Лекция 5
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Учебные вопросы:
1. Работа силы.
2. Кинетическая энергия точки и механической системы.
3.Теорема об изменении кинетической энергии точки.
4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
5. Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия.
1. Работа силы.
Элементарная работа силы — это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы :
.
—приращение радиуса-вектора точки приложения силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещениеточки по траектории совпадает св силу их малости. Поэтому
.
Так как — проекция силы на направление перемещения точки (при криволинейной траектории — на касательную оськ траектории, то
,
т. е. работу совершает только касательная сила, а работа нормальной силы равна нулю.
Если то
если то
если то.
Представим векторы ичерез их проекции на оси декартовых координат:
,
.
Работа силы на конечном перемещении равна интегральной сумме элементарных работ на этом перемещении
.
или
.
Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно, то
.
Работа силы тяжести
,
где h — перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).
При перемещении точки приложения силы тяжести вверх (точка— внизу,— вверху). Итак,
.
Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории (совпадает с) работа равна нулю.
Работа силы упругости пружины.
Пружина растягивается только вдоль оси х
,
где — величина деформации пружины. При перемещении точки приложения силы из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда.
Поэтому работа силы упругости
.
Работа сил, приложенных к твердому телу.
а) Работа внутренних сил
Для двух k - х точек: , т. к.и(доказывается в кинематике) (рис. 80).
Элементарная работа всех внутренних сил в твердом теле равна нулю:
.
Следовательно, на любом конечном перемещении тела
.
б) Работа внешних сил.
Поступательное движение тела .
Элементарная работа k –й силы
.
Для всех сил
.
Так как при поступательном движении , то
,
где — проекция главного вектора внешних сил на направление перемещения.
Работа сил на конечном перемещении
.
Вращение тела вокруг неподвижной оси .
Элементарная работа k - й силы
,
где ,и— составляющие силыпо естественным осям
Так как ,, то работа этих сил на перемещениеточки приложения силы равна нулю. Тогда
,
но
.
Элементарная работа k - й внешней силы равна произведению момента этой силы относительно оси вращенияна элементарный угол поворотатела вокруг оси.
Элементарная работа всех внешних сил
,
где — главный момент внешних сил относительно оси.
Работа сил на конечном перемещении
.
Если , то
,
где — конечный угол поворота;, гдеп — число оборотов тела вокруг оси.
Мощность — это работа, выполненная силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность
,
где А – работа, совершенная силой на конечном перемещении, за время t.
В более общем случае мощность силы можно определить как отношение элементарной работы силы dA к элементарному промежутку времени dt, за который совершена эта работа, что представляет собой производную от работы по времени. Поэтому
.
При вращении тела вокруг неподвижной оси
,
где — угловая скорость вращения тела.
Единицы измерения работы и мощности. В системе СИ единица измерения работы силы — джоуль (1 Дж= 1 Нм),
Единица измерения мощности соответственно — ватт (1 Вт = 1 Дж/с)
75 кГм/с = 1 л. с. (лошадиная сила).
1 кВт= 1000 Вт = 1,36 л. с.