§ 5. Вероятностный смысл плотности распределения

Пусть F (х)—функция распределения непрерывной случайной величины X. По определению плотности распределения, f (х) = F' (х), или в иной форме

Как уже известно, разность F(x+x)— F (х) определяет вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (х, x+x). Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х,x+x), к длине этого интервала (при x0) равен значению плотности распределения в точке х.

По аналогии с определением плотности массы в точке (Если масса непрерывно распределена вдоль оси х по некоторому закону, например F (х), то плотностью р (х) массы в точке х называют предел отношения массы интервала (х, х+х) к длине интервала при , т. е.р (х) =целесообразно рассматривать значение функции f (х) в точке x; как плотность вероятности в этой точке.

Итак, функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х.

Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е.

F ( х+х) — F (х) dF (х),

или

F ( х+х) — F (х) F’ dх.

Так как F'(x) = f(x) и dx= х,то

F ( х+х) — F (х) f(x)х.

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х + х), приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно х) произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала х.

Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х+х), приближенно равна площади прямоугольника с основанием х; и высотой f (х).

На рис. 5 видно, что площадь заштрихованного прямоугольника, равная произведению f(x)х, лишь приближенно равна площади криволинейной трапеции (истинной вероятности, определяемой определенным интегралом ). Допущенная при этом погрешность равна площади криволинейного треугольника ABC.

§ 6. Закон равномерного распределения вероятностей

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, например, законы равномерного, нормального и показательного распределений. В настоящем параграфе рассматривается закон равномерного распределения вероятностей. Нормальному и показательному законам посвящены следующие две главы.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Приведем пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины.

Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину X, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом, X имеет равномерное распределение.

Найдем плотность равномерного распределения f (х), считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале (a,b), на котором функция f (х) сохраняет постоянные значения:

По условию, X не принимает значений вне интервала (a,b), поэтому f(x)=O при х < а и х > b.

Найдем постоянную С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то должно выполняться соотношение

или

Отсюда

Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения

График плотности равномерного распределения изображен на рис. 6, а график функции распределения—на рис. 4.

Замечание. Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1), а через r— ее возможные значения. Вероятность попадания величины R (в результате испытания) в интервал (с, d),. принадлежащий интервалу (0, 1), равна его длине:

Р (с < R < d)=d — с.

Действительно, плотность рассматриваемого равномерного распределения

f(r)=1/(1-0)=1.

Следовательно, вероятность попадания случайной величины R в интервал (с, d) (см. гл. XI, § 2)

P(c<R<d)=

Далее случайная величина R используется неоднократно (см. гл. XXI).

Задачи

1.Случайная величина задана плотностью распределения

Найти коэффициент а.

Отв. а = 1/2.

2. Случайная величина задана плотностью распределения

Найти: а) функцию распределения; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале (0, /4).

Отв.

3. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти плотность распределения.

Отв.f(х)=1 в интервале (0, 1); вне этого интервала f(х) = 0.

4. Случайная величина X задана функцией распределения

Отв. f(x) = (sin x)/2 в интервале (0,); вне этого интервала f(x)=0.

Глава двенадцатая

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ