- •Министерство образования Московской области
- •Содержание
- •Введение
- •Лабораторная работа № 15
- •"Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных
- •Уравнений первого порядка"
- •Элементы теории
- •Численные методы решения задачи Коши
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты
- •Вид рабочего листа Excel
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет
- •Варианты
- •Лабораторная работа № 18 «Решение задач эллиптического типа» Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Вид рабочего листа ms Excel
- •Лабораторная работа № 19 "Решение задач параболического типа" Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Вид рабочего листа Расчет
- •Вид рабочего листа Динамика
- •Вид диаграммы на рабочем листе Расчет для задачи б)
- •Заключение
- •Литература
- •Учебно-методическое издание
Варианты
Найти решение уравнения теплопроводности на 100 временных шагов для стержня длиной l = 1. Шаг по пространственной переменной h = 0,05.
Вид рабочего листа Метод прогонки
Вид рабочего листа Результаты
Вид рабочего листа Динамика
Лабораторная работа № 20
"Решение задач гиперболического типа"
Элементы теории
Типичным примером дифференциального уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа является уравнение колебаний струны длиной l под действием внешней переменной силы в течении времени Т. Считаются заданными начальные перемещения (х) и скорости (х) в каждой точке струны. Принимается, что заданы зависимости перемещений от времени un(t) и uk(t) на концах струны:
(1)
(2)
(3)
(4)
Здесь постоянная а2 связана с натяжением струны. В данной модели должны быть согласованы краевые и начальные условия, то есть (0)=un(0), (l)= uk(0), ,. Если f(x,t) = 0, то имеем задачу о свободных колебаниях струны. Если кроме этого un(t) = uk(t) = 0, то рассматривается задача о свободных колебаниях струны с закрепленными концами.
Будем рассматривать данную начально-краевую задачу в области , в которой введем сетку
с шагами h по х и по t. Пусть - сеточная функция, принимаемая в качестве приближения искомой функцииu(x, t). Аппроксимируем производную по пространственной переменной разностным выражением на временном слое :
. (5)
Для аппроксимации второй производной по времени используем аналогичную формулу:
. (6)
Заменяем в дифференциальном уравнении (1) частные производные конечными разностями и получаем разностное уравнение:
, (7)
где . Обозначив:
, (8) (7) (5) (3)2)нение:
получим простую явную формулу:
. (9)
Для однозначного вычисления по формуле (9) нужно дополнить эту формулу значениями на нулевом временном слое:
(10)
и значениями
(11)
. (12)
на границе, а так же воспользоваться какой-нибудь аппроксимацией производной в условии (3) для вычислении значений на первом временном слое. Используем простейшую несимметричную аппроксимацию:
(13)
Тогда вместо дифференциального условия (3) имеем разностное уравнение:
, (14)
которое приводится к явному виду, учитывая, что :
. (15)
Далее вычисления можно вести по формуле (9), привлекая по ходу вычислений равенства (10)-(12). При таком способе вычисления перемещений точек струны точность аппроксимации задачи (1)-(4) разностной схемой (9)-(12), (15) в целом будет иметь порядок O(h2+) из-за первого порядка аппроксимации производной на первом временном слое (13).
Порядок аппроксимации по времени можно довести до второго, если разложить функцию по степеням в точке (xi ; 0):
.
Используем уравнение (1) для замены второй производной по времени второй производной по координате х и аппроксимируем ее по формуле (5):
Учитывая, что
получим уравнение, которое можно использовать в описанном выше алгоритме вместо соотношения (15):
. (16)
Разностная схема (9)-(12),(16) обеспечивает точность аппроксимации O(h2+2 ). Можно показать, что рассмотренные явные трехслойные разностные схемы обеспечивают устойчивость алгоритма при условии (условие Куранта):
1, то есть . (17)
При этом обеспечивается сходимость решений разностных уравнений к решению дифференциальной задачи (1)-(4).