Типовой расчет 4-1
.pdf1
ЗАДАНИЕ на типовой расчет по курсу «Электротехника»
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ И ЭДС
В рассматриваемых схемах с нелинейным резистивным элементом (полупроводниковым диодом) происходит замыкание ключа в одной из ветвей.
1.Графическим методом определить рабочий участок вольт-амперной характеристики нелинейного элемента (ВАХ НЭ) для анализа переходного процесса в заданной схеме.
2.Применяя метод кусочно-линейной аппроксимации (два отрезка ло-
маной линии на рабочем участке ВАХ НЭ), рассчитать ток i или напряжение и нелинейного элемента в переходном процессе. Построить зависимости и(t)
или i(t).
3.Аппроксимировать рабочий участок характеристики нелинейного элемента полиномом второй степени y=ax+bx2 и определить коэффициенты аппроксимации по граничным точкам рабочего участка.
4.Рассчитать ток i или напряжение u нелинейного элемента методом аналитической аппроксимации.
5.Составить уравнения состояния для определения напряжения u или тока i нелинейного элемента с учѐтом полученной аналитической аппроксимации НЭ.
Выбор схемы и числовых данных
1.Номер схемы рис. 1 должен соответствовать номеру п, под которым студент числится в аудиторном журнале.
2.Значения компонентов схемы следующие: Е=0,5(N+20) В,
J=4(N+40) мА, L=0,01(N+1) Гн, С=0,1 N мкФ, где N - номер учебной груп-
пы, R=40 Ом, r =100 Ом.
3. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента задана в табл. 1 для всех схем.
Таблица 1
U, В |
0 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
I, мА |
0 |
3 |
5 |
9 |
14 |
20 |
30 |
42 |
60 |
100 |
160 |
Варианты расчетных схем находятся у преподавателя.
2
1. Графический метод определения рабочего участка ВАХ НЭ
Рис. 1. Исходная схема
Вольт-амперная характеристика диода представлена в табл. 2 и на рис. 2:
Таблица 2
U, В |
0 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
i, мА |
0 |
3 |
5 |
9 |
14 |
20 |
30 |
42 |
60 |
100 |
160 |
Рис. 2. Вольт-амперная характеристика диода
3
1.1.Определение рабочего участка вольт-амперной характеристики нелинейного элемента графическим методом для анализа переходного процесса в заданной схеме
Определим начальную и конечную точку рабочего участка ВАХ НЭ:
Рис. 3. Схема в установившемся режиме до коммутации
ННУ: t 0 , т.е. ключ замкнут.
iL (0) 0 мА.
t 0 Ключ разомкнут.
Рис. 4. Схема для первого момента времени после коммутации
iд (0) iL (0) 0 мА, - это начальная точка рабочего участка.
Установившийся режим соответствует моменту времени t при разомкнутом ключе. Рассчитаем параметры эквивалентного генератора относительно диода:
U р JR 0,168 40 6, 72 В,
Iк J 0,168 А, rвх 40 Ом .
4
Рис. 5. Определение рабочего участка ВАХ НЭ
На рис. 5 показано определение конечной точки рабочего участка ВАХ
НЭ.
Uд 5,96 В, iд 19,74 мА (по точке пересечения ВАХ диода и резистора).
Слева рабочий участок ограничивается осью i . Таким образом, найденный рабочий участок ВАХ диода [2]:
Напряжение на диоде U изменяется от 0 до 5,96 В; Ток на диоде i изменяется от 0 до 19,74 мА.
2. Расчѐт тока и напряжения диода в переходном процессе с
помощью метода кусочно-линейной аппроксимации
Рис. 6. Схема после коммутации
Разобьѐм рабочий участок ВАХ диода на два отрезка ломаной линии.
5
Рис. 7. Кусочно-линейная аппроксимация рабочего участка ВАХ диода
1) 0 t t1
Параметры эквивалентной схемы замещения диода на первом участке линейной аппроксимации:
RЭ1 ctgα1 ctg0,002 600 Ом, EЭ1 = 0 В.
Рис. 8. Эквивалентная расчѐтная схема
Проведѐм расчѐт необходимых токов и напряжений на первом участке:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
||||
i |
L |
(t) i |
Lуст |
i |
Lсв |
i |
Lуст |
K e |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
iLуст J |
|
R |
|
0,168 |
40 |
|
10,5 |
мА. |
||||||||
R RЭ1 |
640 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Постоянная времени на первом участке:
|
|
L |
|
L |
47 мкс. |
|
|
||||
1 |
|
Rвх |
R RЭ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Из ННУ: i (0) i |
|
|
K |
|
K 0,01, А. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Lуст |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение тока на диоде: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i |
L |
(t) i |
(t) 0,01 0,01e 21333 t , А. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжение на катушке индуктивности: |
|
|
||||||||||||||
|
|
L |
diL |
uL (t) |
|
uL (t) 213Le 21333 t 6, 4e 21333 t , В. |
||||||||||
|
|
dt |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Напряжение на резисторе: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
uR (J iL ) R 6, 72 0, 4 0, 4e 21333 t |
6,32 0, 4e 21333 t , В. |
|||||||||||
Значение напряжения на диоде: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u (t) u |
R |
(t) u |
L |
(t) 6,32 0, 4e 21333 t 6, 4e 21333 t 6,32 6e 21333 t , В. |
|
|||||||||||
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение момента перехода с первого участка на второй t1: Из рис.7 определяем значение тока диода на границе двух участков, т.е.
i (t ) 0, 005 0, 01 0, 01e 21333 t1 |
|
e 21333 t1 |
0,5; |
||||
д |
1 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
ln 0,5 |
|
33 мкс. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
21333 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2) t t1 (расчѐт второго участка аппроксимации)
Расчѐтная схема эквивалентна рис. 8. Параметры эквивалентной схемы замещения диода на втором участке линейной аппроксимации:
RЭ2 ctgα2 ctg0,3 200, Ом, EЭ1 2 В.
ННУ для второго участка: iL (t1 ) iL (t1 ) 5мА.
Рассчитаем ток на катушке индуктивности:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
iL (t ) iLуст2 iLсв2 |
|
2 , |
где t t t1 , |
|||||||||||
iLуст2 K2e |
||||||||||||||
i |
Lуст2 |
|
JR EЭ2 |
20 мА. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
R |
RЭ2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Постоянная времени на втором участке: |
|
|||||||||||||
τ |
|
L |
|
|
L |
125 мкс. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
Rвх |
|
R RЭ2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из ННУ: iL (t 0) iLуст2 K2 |
K2 0,005 0,02 0,015 А. |
Значение тока на диоде на втором участке:
iL (t) iд (t) 0,02 0,015e 8000 (t 33 10 6 ) , А.
7
Напряжение на катушке индуктивности:
L |
diL |
u |
|
(t) |
u |
|
(t) 120Le 8000 (t 33 10 6 ) 3, 6e 8000 (t 33 10 6 ) |
, В. |
||
|
L |
L |
||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Напряжение на резисторе: |
|
|||
u |
R |
(J i ) R 6,72 0,8 0,6e 8000 (t 33 10 6 ) 5,92 0,6e 8000 (t 33 10 6 ) , В. |
||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
Рис. 9. Временные зависимости тока и напряжения на диоде
3.Аппроксимация рабочего участка характеристики диода полиномом
второй степени и определение коэффициентов аппроксимации по граничным точкам рабочего участка
Заданный вид аналитической аппроксимации рабочего участка ВАХ диода:
uд aiд biд2 .
Для граничных точек рабочего участка:
u |
(0) ai |
(0) bi2 (0), |
||
д |
|
д |
|
д |
u |
|
ai |
|
bi2 . |
|
|
дуст |
д уст |
|
дуст |
Поскольку первое уравнение системы вырождается в тождество, то вместо него возьмѐм значения тока и напряжения в заданной точке из табл.1 u 3 В, i = 5 мА. Таким образом, получаем
u |
ai |
bi2 |
, |
||
д3 |
|
д3 |
|
д3 |
|
u |
|
ai |
|
bi2 . |
|
|
|
дуст |
|
дуст |
|
дуст |
|
8
В численном виде:
3 5 10 3 a 2,5 10 5 b, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
2 10 |
a 4 |
10 |
b. |
||
5,96 |
|
|
Значение коэффициентов аналитической аппроксимации:
a 701,
b 20223.
Итак, уравнение аналитической зависимости между напряжением и током на диоде записывается в виде:
uд (iд ) 701iд 20223iд2 , В.
4. Расчѐт тока i диода методом аналитической аппроксимации
Рис. 10. Расчѐтная схема
Система уравнений Кирхгофа для схемы на рис. 10:
J iR iд ,uд uL uR .
С учѐтом компонентного уравнения для напряжения на катушке индуктивности и аналитической аппроксимации для напряжения на диоде получаем нелинейное дифференциальное уравнение:
uд L didtд (J iд ) R ,
701iд 20223iд2 0, 03 didtд 40iд 6, 72 ,
9
didtд 674100iд2 24700iд 224 .
Решаем уравнение методом разделения переменных:
|
|
diд |
|
|
dt , |
|
674100i2 |
24700i |
224 |
||||
|
д |
|
д |
|
|
|
|
1, 4810 6 di |
|
dt . |
|||
|
|
|
|
д |
|
|
i2 |
36, 64 10 3 i |
0,33 10 3 |
||||
д |
|
д |
|
|
|
|
После нахождения корней знаменателя раскладываем его на простейшие множители:
|
|
1, 4810 6 di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
iд 1,59 10 2 iд 2,07 10 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
По методу неопределѐнных коэффициентов вычисляем: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1,48 10 6 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
B |
|
||||||||||||||
|
i 1,59 10 2 i |
2,07 10 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||
|
i |
1,59 10 2 |
i |
2,07 10 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
д |
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
||
1,48 10 6 A i |
2,07 10 2 B |
i 1,59 10 2 , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
i 1,59 10 2 |
|
1,48 10 6 0,48 10 2 A |
|
A 3,08 10 4 , с, |
|||||||||||||||||||||||||
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 2,07 10 2 |
|
|
1,48 10 6 0,48 10 2 B |
|
|
|
B 3,08 10 4 , с. |
||||||||||||||||||||||
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
diд |
|
|
|
diд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3, 0810 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
i 1,59 10 2 |
i 2, 07 10 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По таблице интегралов записываем решение: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
t 3,08 10 4 ln |
|
i |
1,59 10 2 |
|
|
ln |
|
i |
|
|
2,07 10 2 |
|
c , |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t 3,08 10 4 ln |
|
|
i |
1,59 10 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
i |
2,07 10 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение константы с определим из нулевого момента времени:
|
|
|
1,59 10 2 |
|
|
|
t 0 |
|
c 3,08 10 4 ln |
|
8,13 10 5 , с. |
||
2,07 10 2 |
||||||
|
|
|
|
|
10
Аналитическая зависимость между током диода и временем:
t 3,08 10 4 ln |
i |
1,59 10 2 |
|
8,13 10 5 |
|
|
д |
|
|
, |
с. |
||
i |
2,07 10 2 |
|||||
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Составление уравнений состояния для определения тока i диода
По принципу компенсации диод можно заменить на источник напряжения, а катушку индуктивности ― на источник тока (рис. 11).
Рис. 11. Схема для составления уравнений состояния
Воспользуемся методом наложения для нахождения напряжения на катушке [1], [3]. Схемы для расчѐта “частичных” напряжений представлены на рис. 12 ― 14.:
U JR,
L
iR J
Рис. 12
U i R,
L L
iR iL
Рис. 13
U U ,
L д
iR 0 Uд
Рис. 14
По методу наложения с учѐтом аналитической аппроксимации для напряжения на диоде записываем систему уравнений: