Лекция 6. Комплексные числа, последовательности комплексных чисел

Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация

Определение 1.1.} Комплексными числами называются числа вида z = x + iy, где x, y Î R, а i --- так называемая мнимая единица, i2 = -1.

x = Re z --- действительная часть; y = Im z --- мнимая часть.

Действия с комплексными числами.

1. Равенство. Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части:

z1 = x1 + iy1,= z2 x2 + iy2 , z1 = z2 Û x1 x2=, y1 y2=.

2. Сложение и вычитание:

z1 ± z2 =(x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 ).

3. Умножение. Умножение осуществляется обыкновенным раскрыванием скобок с учетом i2 = -1 :

z1z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) (=x1x2 - y1 y2 ) + i(x2 y1 + x1 y2 ),

что удовлетворяет требованиям коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Пример: 1 = -i. i

5. Возведение в целую степень. Действия с многочленами.

Примеры:

k = 0,1, 2,...

б) z2 = (x + iy)2= x2 - y2 + i2xy.

6. Комплексное сопряжение:

33

з) Im z = b --- прямая, параллельная действительной оси, проходящая через точку

(0, b).

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа

Полярные координаты:

Для комплексного числа 0 = (0,0) модуль равен 0 , а аргумент не определен.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

z = r(cosj + i sin j) = reij --- ( формула Эйлера )---

показательная форма записи комплексного числа.

Примеры:

35

+i sin(p +j)) = ei (p +j) .

Геометрическая интерпретация сложения и умножения

Сложение двух комплексных чисел можно рассматривать как сложение двух векторов на плоскости. При этом справедливы неравенства треугольника:

e -окрестность точки z0 ---множество точек z , удовлетворяющих неравенству

| z - z0 | < e ,

0 <| z - z0 |< e --- выколотая (проколотая) e -окрестность точки z0 .

При умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются (растяжение или сжатие), а аргументы складываются (поворот на плоскости):

Алгебраической формой записи комплексных чисел удобно пользоваться при операциях сложения и вычитания, а показательной --- при умножении, делении, возведении в целую степень, извлечении целого корня (возведение в рациональную степень).

Возведение в целую степень:

zn = [r(cosj + i sin j)]n [r=eij ]n rneinj= rn (cos(nj)=+ i sin(nj)).

Формула Муавра:

(cosj + i sin j)n = cos(nj) + i sin(nj). Пример:

Извлечение целого корня (возведение в рациональную степень):

z = r=eij = rei (j +2p k ) , k 0, ±1, ±2,...;

n z = nr ei ( r+2pk )/ n = nrei( r / n+2pk / n) .

Cледовательно, корень n -й степени из комплексного числа имеет n различных значений, которые получаются при k = 0,1, 2,..., n -1.

Пример:

36

Топологические понятия Теория функций комплексной переменной (ТФКП) в основном развивается на

плоских множествах, за исключением римановых поверхностей.

Приведем кратко некоторые сведения топологического характера.

1. Функция f : X ® Y называется непрерывной в точке x0 , если

"e > 0 $d > 0 "x Î X SX (x, x0 ) < d Þ SY ( f (x), f ( y)) < e;

функция f непрерывна на X , если она непрерывна в любой точке x .

2. Функция f : X ® Y называется равномерно непрерывной на X , если

"e > 0 $d > 0 "x, y Î X SX (x, y) < d Þ SY ( f (x), f ( y)) < e.

3. Множество значений f ( X ) Ì Y называют образом X . Если

f ( X ) = Y , то функция f --- сюръективное отображение, или отображение «на». В общем случае говорят, что f отображает X в Y.

4. Если образы различных элементов x1 ¹ x2 не совпадают, функцию

f называют инъективным отображением, или инъекций. В этом случае

5. В ТФКП инъективное на множестве W отображение f называется однолистным на W. При этом w = f (z) является взаимно-однозначным

отображением W на W¢ =f (W). Функция f (z) однолистна в точке z = a , если существует окрестность точки a ,в которой f (z) однолистна.

6. Гомеоморфизмом называют взаимно-однозначное и непрерывное как f ,

так и f -1 отображение f : X ® Y . Пространства, между которыми можно установить гомеоморфизм, называются гомеоморфными.

7.Пространство X называется связным, если в его топологии нет, кроме X и Æ других множеств, одновременно открытых и замкнутых.

Характеристическое свойство --- связное пространство нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся открытых непустых множеств.

8.Пространство считается линейно связным, если для

"a, b Î X $P :[0,1] ® X , P --- непрерывное, P(0) = a, P(1) = b, то есть любые две точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком лежащей в X . Линейная связность влечет связность, обратное --- неверно.

Специфика ТФКП состоит, главным образом, в используемых понятиях

37

областей и границ. Область, определяемая как связное открытое множество, для ТФКП слишком общо. Области при таком определении могут быть слишком сложно устроенными, что малосущественно при исследовании аналитических

функций. Например, пришлось бы учитывать парадокс Брауэра о существовании любого числа областей, имеющих одну и ту же границу, либо допускать возможность существования областей с недостижимой изнутри границей.

Пример:

{(x, y) : x >1, 0 < y <1/ x2}.

Это открытое множество надо завернуть на цилиндр. Граница --- нижняя окружность недостижима изнутри.

Рис. 1.3

Поэтому под областью в комплексной плоскости Z называется открытое связное множество с достаточно простой границей, например,кусочно-гладкой, описываемой непрерывно дифференцируемыми функциями

z(t ) = x(t) + iy(t).

Число связных частей границы называют порядком связности области. Область с границей из одного связного куска --- односвязная.

Направление обхода границы, при котором область остается слева, принято считать положительным.

Последовательности комплексных чисел

Определение 1.2. Последовательностью комплексных чисел называют упорядоченное счетное множество комплексных чисел. Члены последовательности (элементы) располагаются в порядке следования их номеров. Обозначение: {zn}.

Определение 1.3. Комплексное число z называется пределом последовательности{zn } б если для "e > 0 $ N (e ) "n ³ N Þ | zn - z |< e.

Обозначение:

{zn } ® z или lim zn = z .

n®¥

Примеры:

é(-1)n ù

б) lim arg ê ú не существует, так как

n®¥ ë n û

38

Примеры:

В обычном смысле они не сходятся, но оказывается удобным считать, что

$z= ¥;=lim zn ¥. (Единственная бесконечно удаленная точка комплексной плоскости).

n®¥

Все неограниченно возрастающие последовательности сходятся к этой единственной точке. Если {zn } неограниченно возрастающая, то {xn =1/ zn} ® 0. Отсюда легко получить правила арифметических действий с бесконечно удаленной точкой:

Операции 0 / 0 и ¥ / ¥ являются неопределенными.

40