![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1Принцип Гамильтона-Остроградского для упругого тела.Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для упругого тела Принцип Гамильтона – Остроградского для упругого тела
- •2Динамические уравнения теории упругости.
- •3Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для одномерных и двумерных систем.
- •6Уточненная теория изгибных колебаний стержней. Уравнения балки Тимошенко
- •7Уравнения колебаний и естественные граничные условия колебаний пластин. Уравнение изгибных колебаний пластин
- •8Применение принципа Даламбера для вывода уравнений динамики упругих систем
- •Продольные колебания стержней
- •Пластина
- •10Операторное уравнение для определения спектров
- •Ортогональность форм собственных колебаний
- •13Структура спектра частот собственных колебаний. Полнота системы форм собственных колебаний
- •15Энергетическое пространство упругого оператора. Энергетическая норма. Энергетическое пространство положительно определенного оператора
- •16Вариационные принципы теории собственных колебаний. Основной вариационный принцип теории собственных колебаний
- •17Минимальное свойство низшей собственной частоты Теоремы сравнения
- •Теоремы сравнения
- •Классификация методов
- •19 Методы физической дискретизации(Дискретизация масс)
- •20Вариационные методы определения собственных частот и форм колебаний. Вариационная формулировка задачи
- •21Метод Релея и некоторые оценки, вытекающие из него: формулы Данкерли и Саутвелла Формула Релея
- •Некоторые оценки, вытекающие из формулы Релея. Формулы Данкерли и Саутвелла
- •22Вариационный метод Ритца
- •23Метод БубноваГалеркина
- •24Продольные, крутильные и изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения. Продольные колебания стержней постоянного поперечного сечения
- •Изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения
- •26Метод начальных параметров в задачах об изгибных колебаниях стержней
- •Матричная форма метода начальных параметров
- •27Методы расчленения в теории собственных колебаний стержней (метод динамических податливостей, метод динамических жесткостей).
- •28Влияние осевых усилий на собственные изгибные колебания стержней
- •29Влияние инерции вращения и деформаций поперечного сдвига на изгибные колебания стержней
- •30Собственные колебания прямоугольных пластин.Граничные условия Навье. Уравнения и граничные условия
- •Собственные колебания прямоугольной пластины с краевыми условиями Навье
- •31Плотность собственных частот пластин
- •32Прямоугольная пластина краевыми условиями Леви
- •33Колебания круговых и кольцевых пластин
- •Круговые пластины
- •34Применение вариационных методов в задачах о собственных колебаниях пластин
- •35Асимптотический метод в.В.Болотина для определения спектров собственных колебаний
- •Идея асимптотического метода
- •36Применение асимптотического метода к расчету прямоугольных пластин
- •37Собственные колебания круговых цилиндрических оболочек.
- •38Осесимметричные и преимущественно изгибные колебания. Осесимметричные колебания цилиндрических оболочек
- •39Собственные колебания пологих оболочек. Уравнения и граничные условия
- •40Волны в неограниченной упругой изотропной среде. Волны расширения и волны сдвига.
- •41Дисперсионное уравнение. Фазовая и групповая скорости.Типы дисперсий
- •42Поверхностные волны Релея
- •43Приложение к сейсмологии
- •44 Продольные волны и волны кручения в призматических стержнях.Элементарная и уточненная теории изгибных волн в стержнях.
- •Волны кручения в призматическом стержне
- •Изгибные волны в призматических стержнях
- •Изгибные волны в стержнях
38Осесимметричные и преимущественно изгибные колебания. Осесимметричные колебания цилиндрических оболочек
Если
,
то, казалось бы,
.
Но на самом деле это не так, потому что
для осесимметричной деформации просто
не зависят от
.
Если
,
то второе уравнение перепишется как
Учитывая,
что
,
получим
Волновое
уравнение крутильных колебаний.
Представим
.
После подстановки в уравнение получим
Обозначим
.
Первое и третье уравнение перепишутся
для осесимметричной деформации так
Эта
система описывает продольно-поперечные
колебания. Система разделяется, если
.
частота продольных колебаний
частота поперечных колебаний
Если
оболочка достаточно длинная и тонкая,
то
.
Поэтому приближенно можно записать
Преимущественно поперечные колебания происходят, когда тангенциальными силами можно пренебречь. Проинтегрируем в этом случае 1-е уравнение и подставим 1-ую производную во второе уравнение. В результате получим
39Собственные колебания пологих оболочек. Уравнения и граничные условия
Рассмотрим
тонкую упругую оболочку постоянной
толщины, отнесенную к ортогональной
криволинейной системе координат
Гипотезы классической теории оболочек
1. Гипотезы Кирхгофа – Лява;
2. Перемещения и деформации малы;
3. Материал линейно упругий
Уравнения колебаний могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона – Остроградского. Можно использовать принцип Даламбера, только необходимо поставить в соответствие гипотезы, относящиеся к деформированию оболочки, и гипотезы об учете инерционных членов.
Перемещения
Инерционные
члены: нормальные
и тангенциальные
Если
рассматривают преимущественно изгибные
колебания, то членами
пренебрегают.
Запишем уравнения из принципа Даламбера
,
где для собственных колебаний
,
Если
,
то знаки у
и
различны.
Граничные
условия на
:
На каждом краю по 4 условия в общем случае. Количество граничных условий зависит от вида оператора. Для преимущественно изгибных колебаний по 2 условия.
Выпишем
эти условия для альтернативного случая.
Край
Заделка |
Свободный край |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения колебаний пологих оболочек
(1)
(2)
В
уравнении (1) нет членов типа
.
Получены они из общих уравнений равновесия
и принципа Даламбера. Затем отброшены
лишние инерционные члены, введена
функция усилий.
40Волны в неограниченной упругой изотропной среде. Волны расширения и волны сдвига.
Под волной будем понимать процесс распространения колебаний. Волновые решения необходимы для понимания картины динамического поведения упругого тела.
Волны расширения и волны сдвига
Рассматривается
неограниченная однородная изотропная
упругая среда.
Уравнение колебаний упругой среды (уравнения Ламе)
или в векторной форме
компоненты вектора перемещений
Рассмотрим
частный случай: так называемую плоскую
волну
,
.
Тогда уравнения разделяются
Имеем три волновых уравнения типа
Решение этого уравнения имеет вид
где
и
любые гладкие функции,
скорость распространения волны.
Итак
Плоская
упругая волна представляет собой две
независимо распространяющиеся волны.
В первой из них перемещение
совпадает с направлением распространения
самой волны. Эта волна называется
продольной и скорость ее распространения
равна
.
В другой волне смещения точек лежат в
плоскости, перпендикулярной направлению
распространения волны. Такая волна
называется поперечной, скорость ее
распространения равна
.
Выразим скорости распространения волн
через технические упругие постоянные
Отношение
скоростейне зависит от
и
.
При
Свойства поперечной и продольной волн
Для
поперечной волны имели
,
т.е. объемная деформация равна нулю.
Однако
т.е. поперечная волна сопровождается «вращением» элемента. По этой причине эти волны еще называют так: поперечные – волны сдвига – вихревые – эквиволюминальные (равнообъемные).
Для
продольной волны
,
т.е. распространение такой волны
сопровождается объемной деформацией.
Однако
Эти волны называют дилатационные продольные – волны расширения – безвихревые (не совсем точное название, поскольку безвихревые движения, вообще говоря, сопровождаются и деформациями сдвига)
Разделение упругой волны на две независимо распространяющиеся части можно провести и в общем случае произвольной (неплоской) волны.
Теорема Гельмгольца: Произвольное векторное поле может быть представлено в виде суммы безвихревого и вихревого полей.
То
есть,
скалярный
потенциал
векторный
потенциал
Подставляя это разложение в уравнения Ламе, получим
в сейсмикеP─волны
(первичные)
в сейсмикеS─волны
(вторичные)