- •1Принцип Гамильтона-Остроградского для упругого тела.Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для упругого тела Принцип Гамильтона – Остроградского для упругого тела
- •2Динамические уравнения теории упругости.
- •3Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для одномерных и двумерных систем.
- •6Уточненная теория изгибных колебаний стержней. Уравнения балки Тимошенко
- •7Уравнения колебаний и естественные граничные условия колебаний пластин. Уравнение изгибных колебаний пластин
- •8Применение принципа Даламбера для вывода уравнений динамики упругих систем
- •Продольные колебания стержней
- •Пластина
- •10Операторное уравнение для определения спектров
- •Ортогональность форм собственных колебаний
- •13Структура спектра частот собственных колебаний. Полнота системы форм собственных колебаний
- •15Энергетическое пространство упругого оператора. Энергетическая норма. Энергетическое пространство положительно определенного оператора
- •16Вариационные принципы теории собственных колебаний. Основной вариационный принцип теории собственных колебаний
- •17Минимальное свойство низшей собственной частоты Теоремы сравнения
- •Теоремы сравнения
- •Классификация методов
- •19 Методы физической дискретизации(Дискретизация масс)
- •20Вариационные методы определения собственных частот и форм колебаний. Вариационная формулировка задачи
- •21Метод Релея и некоторые оценки, вытекающие из него: формулы Данкерли и Саутвелла Формула Релея
- •Некоторые оценки, вытекающие из формулы Релея. Формулы Данкерли и Саутвелла
- •22Вариационный метод Ритца
- •23Метод БубноваГалеркина
- •24Продольные, крутильные и изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения. Продольные колебания стержней постоянного поперечного сечения
- •Изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения
- •26Метод начальных параметров в задачах об изгибных колебаниях стержней
- •Матричная форма метода начальных параметров
- •27Методы расчленения в теории собственных колебаний стержней (метод динамических податливостей, метод динамических жесткостей).
- •28Влияние осевых усилий на собственные изгибные колебания стержней
- •29Влияние инерции вращения и деформаций поперечного сдвига на изгибные колебания стержней
- •30Собственные колебания прямоугольных пластин.Граничные условия Навье. Уравнения и граничные условия
- •Собственные колебания прямоугольной пластины с краевыми условиями Навье
- •31Плотность собственных частот пластин
- •32Прямоугольная пластина краевыми условиями Леви
- •33Колебания круговых и кольцевых пластин
- •Круговые пластины
- •34Применение вариационных методов в задачах о собственных колебаниях пластин
- •35Асимптотический метод в.В.Болотина для определения спектров собственных колебаний
- •Идея асимптотического метода
- •36Применение асимптотического метода к расчету прямоугольных пластин
- •37Собственные колебания круговых цилиндрических оболочек.
- •38Осесимметричные и преимущественно изгибные колебания. Осесимметричные колебания цилиндрических оболочек
- •39Собственные колебания пологих оболочек. Уравнения и граничные условия
- •40Волны в неограниченной упругой изотропной среде. Волны расширения и волны сдвига.
- •41Дисперсионное уравнение. Фазовая и групповая скорости.Типы дисперсий
- •42Поверхностные волны Релея
- •43Приложение к сейсмологии
- •44 Продольные волны и волны кручения в призматических стержнях.Элементарная и уточненная теории изгибных волн в стержнях.
- •Волны кручения в призматическом стержне
- •Изгибные волны в призматических стержнях
- •Изгибные волны в стержнях
1Принцип Гамильтона-Остроградского для упругого тела.Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для упругого тела Принцип Гамильтона – Остроградского для упругого тела
Сначала сформулируем этот принцип для систем с конечным числом степеней свободы, подчиненных голономным идеальным связям и загруженных консервативными силами:
Среди всех движений, совместимых со связями, достаточно близких к истинному и совпадающих с истинным в начальный и конечныймоменты времени, истинное движение сообщает интегралу действия
стационарное значение, т.е.
Этот принцип переносится и на распределенные системы, когда внешние силы обладают потенциалом.
кинетическая энергия системы;
потенциальная энергия упругой деформации;
потенциальная энергия внешних сил, равная работе внешних сил с обратным знаком.
Рассмотрим упругое тело, занимающее объем , загруженное по части поверхности, а на части поверхностизаданы перемещения точек поверхности.
объемная плотность упругого тела
─ нагрузка
компоненты вектора перемещений точек упругого тела
компоненты тензорного поля деформаций упругого тела
Будем считать, что перемещения и градиенты перемещений малы. Тогда компоненты тензора малых деформаций определятся формулами Коши
Материал – линейно-упругий, справедлив закон Гука
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия упругой деформации
Здесь учтено, что.
Потенциальная энергия внешних сил
где объемные силы. Без ограничения общности
Запишем интеграл действия в виде
,
где
объемная плотностьлагранжиана
поверхностная плотностьлагранжиана
Функционал определен на функциях, имеющих необходимые производные и удовлетворяющие заданным условиям на поверхности, т.е. кинематическим граничным условиям.Вычислим вариацию квадратичного функционала
Здесь вариации по Гамильтону: малые; совместимые со связями, изохронные (переставимость операций дифференцирования и варьирования); в начале и в конце движенияравны нулю
,.,
Преобразуем интегралы с использованием формулы Гаусса – Остроградского
; в компонентах
Здесь учтено, что на .Выражение для вариации функционалапримет вид
Необходимое условие стационарности функционала . Тогда на основании основной леммы вариационного исчисления имеем уравнение Эйлера – Остроградского.
в объеме
Естественные граничные условия
на поверхности
2Динамические уравнения теории упругости.
Уравнение колебаний
в объеме
Естественные граничные условия
на поверхности
объемная плотностьлагранжиана
поверхностная плотностьлагранжиана
Учитывая выражения для объемной и поверхностной плотности лагранжиана и, получим динамические уравнения теории упругости
в объеме
на поверхности
на поверхности
+ начальные условия
объемные силы
В уравнении движения под знаком дифференцирования
В случае изотропного материала
где постоянные Ламе. Тогда для изотропного материала имеем
или
- уравнения Ламе для динамического случая. Естественные граничные условия
на
Векторная форма записи при и при
+ граничные и начальные условия.