![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию
- •1. Двойные интегралы
- •1.1. Задача об объеме цилиндрического бруса
- •1.2.Определение двойного интеграла
- •1.3. Свойства двойного интеграла
- •1.4. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу
- •1.5. Вычисление двойных интегралов
- •1.5.1. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.5.2. Замена переменных в двойных интегралах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6. Приложения двойных интегралов к геометрии и механике
- •1.6.1.Вычисление площадей плоских фигур
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6.2. Вычисление объемов тел
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6.3. Вычисление площадей поверхностей
- •Решение
- •Решение
- •1.6.4. Некоторые приложения двойных интегралов к механике
- •Решение
- •Решение
- •2.2. Определение тройного интеграла
- •2.3. Свойства тройного интеграла
- •2.4. Вычисление тройных интегралов
- •2.4.1. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •2.4.2. Замена переменных в тройных интегралах
- •2.5. Приложения тройных интегралов
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Литература
- •Содержание
- •214013 Г. Смоленск, Энергетический проезд, 1
1.2.Определение двойного интеграла
Возьмем произвольную
фигуру
на плоскости, представляющую собойограниченнуюизамкнутуюобласть.
Ее границу мы всегда будем представлять
в виде замкнутой кривой (или нескольких
таких кривых).
Определение
2. Областьназывается квадрируемой, если она имеет
площадь.
Замечание 1. В дальнейшем будем рассматривать только квадрируемые области.
Пусть в области
определена функция двух переменных
.
Разобьем область
сетью кривых наконечное число
элементарных областей
соответственно с площадями
.
В каждой элементарной области
возьмем по произвольной точке
,
значение функции в этой точке
умножим на площадь
соответствующей области и все подобные
произведения сложим. Полученную сумму
(1.3)
будем называть интегральной суммой для функции f (x, y) по области (D).
Обозначим через
наибольший из диаметров
элементарных областей
.
Определение
3. Если при стремлении к нулю
наибольшего из диаметровсуществует конечный предел
интегральной суммы (1.3), и он не
зависит ни от способа разбиения области
на элементарные области
,
ни от выбора точек
в каждой элементарной области
,
то этот предел называетсядвойным
интегралом отфункции
по области
и обозначается
.
Теорема1. (необходимое условие существования
двойного интеграла). Если функцияинтегрируема в ограниченной замкнутой
области
,
то она ограничена в этой области.
Теорема2. (достаточное условие существования
двойного интеграла). Если функциянепрерывна в ограниченной замкнутой
области
,
то она интегрируема в ней.
Из пункта 1.1. следует
геометрический смысл двойного
интеграла. Если функциянеотрицательна:
- и интегрируема в области
,
то двойной интеграл от функции
по области
равен объему тела, сверху ограниченного
поверхностью
,cбоков - цилиндрической
поверхностью с образующими, параллельными
оси
,
снизу – областью
на плоскости
:
.
1.3. Свойства двойного интеграла
1.
.
2. Если функцию
,
интегрируемую в области
,
умножить на постояннуюk,
то полученная функцияk
f (x,y)
также будет интегрируема в области
,
причем
.
3. Если в области
интегрируемы функции
и
,
то интегрируема и функция
,
причем
.
4. Если область
,
в которой задана функция
,
кривой
разделена на две области
и
,
то из интегрируемости функции
во всей области
следует ее интегрируемость в областях
и
,
и обратно – из интегрируемости функции
в обеих областях
и
вытекает ее интегрируемость в области
.
При этом
.
5. Если для
интегрируемых в области
функций
и
выполняется неравенство
,
то
.
6. В случае
интегрируемости функции
в области
интегрируема и функция |f(x,y)|
в области
,
и имеет место неравенство
.
7. ТеоремаО СРЕДНЕМ. Если функциянепрерывна в области
,
то найдется такая точка
в области
,
что
=f
·SD,
гдеSD– площадь областиD.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Свойство 3 обобщается на любое конечное число функций.
Свойство 4 обобщается на любое конечное число областей.
1.4. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу
Продолжая трактовать двойной интеграл геометрически, как объем цилиндрического бруса, дадим указания относительно его вычисления путем сведения к повторному интегралу.
Ранее рассматривалась
задача вычисления объема тела
по его поперечным сечениям. Напомним
относящуюся сюда формулу. Пусть тело
ограничено плоскостями
и
(рис.1.2).
Рисунок. 1.2
Допустим, что
сечение тела плоскостью, перпендикулярной
к оси абсцисс и отвечающей абсциссе
,
имеет площадь
.
Тогда объем тела, в предположении его
существования, выразится формулой
. (1.4)
Применим теперь эту формулу к вычислению объема цилиндрического бруса, о котором шла речь выше. Начнем с простого случая, когда в основании бруса лежит прямоугольник [a,b;с,d] (рис.1.3).
Рисунок. 1.3
Сечение бруса
плоскостью
есть криволинейная трапеция
.
Для нахождения ее площади спроектируем
эту фигуру на плоскость
.
Получим конгруэнтную с ней трапецию
(ибо проектирование происходит без
искажения). Но уравнение линии
на плоскости
,
очевидно, будет
.
Пользуясь известным
выражением площади криволинейной
трапеции в виде определенного интеграла,
будем иметь
.
Так как наше рассуждение относится к
любому сечению, то вообще для
.
Подставляя это значение
в формулу (1.4), получим
.
Но мы имеем для объема
и
выражение (1.2*), следовательно,
- двойной интеграл приведен к повторному.
Аналогичный
результат можно получить и для общего
случая, когда область
на плоскости
представляет собой криволинейную
трапецию, ограниченную двумя кривыми:
и двумя прямыми
и
(рис. 1.4). Разница по сравнению с
рассмотренным случаем состоит в
следующем: раньше при любом фиксированным
изменение
происходило в одном и том же промежутке
,
а теперь этот промежуток
сам зависит от
,
так что
.
Окончательно
получим:
.
Рисунок. 1.4