![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию
- •1. Двойные интегралы
- •1.1. Задача об объеме цилиндрического бруса
- •1.2.Определение двойного интеграла
- •1.3. Свойства двойного интеграла
- •1.4. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу
- •1.5. Вычисление двойных интегралов
- •1.5.1. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.5.2. Замена переменных в двойных интегралах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6. Приложения двойных интегралов к геометрии и механике
- •1.6.1.Вычисление площадей плоских фигур
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6.2. Вычисление объемов тел
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.6.3. Вычисление площадей поверхностей
- •Решение
- •Решение
- •1.6.4. Некоторые приложения двойных интегралов к механике
- •Решение
- •Решение
- •2.2. Определение тройного интеграла
- •2.3. Свойства тройного интеграла
- •2.4. Вычисление тройных интегралов
- •2.4.1. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •2.4.2. Замена переменных в тройных интегралах
- •2.5. Приложения тройных интегралов
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Литература
- •Содержание
- •214013 Г. Смоленск, Энергетический проезд, 1
2.3. Свойства тройного интеграла
1.
.
2.
Если умножить интегрируемую функцию в
области
на постоянную
,
то полученная функция также будет
интегрируема, и при этом
.
3.
Если в области
интегрируемы функции
и
,
то интегрируема и функция
,
причем
.
4.
Если в области
задана функция
и область
,
то из интегрируемости функции
во всей области
следует ее интегрируемость в областях
и
,
и обратно – из интегрируемости функции
в обеих областях
и
вытекает интегрируемость в области
.
При этом
.
5.
Если для интегрируемых в областифункций
и
выполняется неравенство
,
то
.
6.
В случае интегрируемости функции
интегрируема и функция
,
и имеет место неравенство
.
7.
Теорема
О СРЕДНЕМ. Если функция
непрерывна в области
,
то найдется такая точка
в области
,
что
,
гдеV
– объем области (V).
2.4. Вычисление тройных интегралов
2.4.1. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Тело
называется правильным в направлении
осиOz, если выполняются
два условия:
1) Любая прямая,
проходящая через внутренние точки тела
параллельно осиOz,
пересекает границу тела в двух точках;
2) Область
,
являющаяся проекцией тела
на плоскость
,
является правильной в направлении хотя
бы одной из осей координат.
Пусть тело
представляет собой «цилиндрический
брус», ограниченный снизу и сверху,
соответственно, поверхностями
и
,
проектирующимися на плоскость
в некоторую область
,
ограниченную кривой (K);
с боков тело
ограничено цилиндрической поверхностью
с образующими, параллельными осиOz,
и с кривой (K) в роли
направляющей (рис.2.1).
Рисунок. 2.1
Теорема3. Если дано тело,
правильное в направлении осиOz;
функция трех переменныхf(x,y,z) непрерывна в области
,
то
.
Если область
представляет собой криволинейную
трапецию, ограниченную двумя кривыми
(рис.2.2)
и
и прямыми
,
то
.
Рисунок. 2.2
Пример 1. Вычислить
тройной интеграл,
где область
ограничена поверхностямиx+y+z= 1,x= 0,y= 0,z= 0.
Решение
Уравнение
представляет собой плоскость, отсекающую
на осях отрезки, равные 1;x= 0,y= 0,z= 0 - координатные плоскости. Область
есть пирамида (рис. 2.3).
Рисунок. 2.3
Из чертежа сразу
видно, что по любой из переменных можно
с одинаковым успехом брать постоянные
пределы, и они равны 0 и 1. Возьмем,
например, постоянные пределы по
.
Проекцией пирамиды на плоскость
является треугольник, ограниченный
прямыми
.
Отсюда определяем пределы интегрирования
по
.
Для переменной
нижним пределом интегрирования будет,
очевидно,
(плоскость
),
а верхним – значение
,
полученное из уравнения плоскости
,
т.е.
.
Определив пределы интегрирования по
каждой из переменных, можем представить
данный тройной интеграл через повторный
и выполнить вычисления, последовательно
вычисляя соответствующие определенные
интегралы. Получим:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
–
.
Пример 2. Вычислить:,
где тело
ограничено поверхностямиx= 2,y=
,y= 0,z= 0,z= 2.
Решение
Выполним рисунок области интегрирования, ограниченной заданными в условии плоскостями (рис. 2.4).
Рисунок. 2.4 Рисунок. 2.5
Область является
правильной относительно всех осей.
Проектируем тело на плоскость xOy.
Проекция области (V)на выбранную плоскость изображена на
рис. 2.5. Тогда исходный интеграл сводится
к повторному с пределами интегрирования
(рис. 2.5) по переменнойхот 0 до 2, поуот 0 до,
и, в соответствии с рис. 1, по осиzот 0 до 2.
=
=
=
= 2= 2
= 2
= 2сh
=
= 2(ch2 – 1).
Пример 3. Вычислить:,
где тело (V) ограничено
поверхностямиx= 2,y= 2x,y= 0,z= 0,z=xy.