![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Классические ортогональные полиномы
- •Интегралы с полиномами Эрмита
- •Гармонический осциллятор
- •Примеры
- •3. Доказать, что фурье-преобразование не изменяет форму уравнения гармонического осциллятора.
- •Обобщенные полиномы Лагерра
- •Уравнение Лагерра
- •Формула Родрига
- •Полиномиальное представление
- •Полиномы низших степеней
- •Производящая функция
- •Рекуррентные соотношения
- •2. Дифференцируя далее (6.54), получаем
- •Следует
- •Связанные состояния электрона в АтомЕ водорода Характеристики атома протия
- •Решение уравнения методом факторизации
- •Физический смысл параметров
- •Частные случаи
- •Полиномы Лежандра
- •Уравнение Лежандра
- •Метод факторизации
- •Представление в виде полинома
- •Полиномы низших порядков
- •Дифференцируем
- •. (6.132)
- •7. Складываем (6.128) и (6.130)
- •Интегралы с полиномами лежандра
- •Полиномы Чебышева первого рода
- •Уравнение Чебышева
- •Метод факторизации
- •Тригонометрическое представление
- •Полиномы Чебышева второго рода
- •Разложения функции
- •Аппроксимация полиномом
Частные случаи
1.
При
из
,
(П.5.10)
находим
,
,
– теорема
вириала
связывает полную энергию со средним
значением потенциальной энергии
.
2.
При
получаем
.
(П.5.8)
3.
При
находим
.
Соотношение
(П.5.10) не позволяет найти
.
Полиномы Лежандра
,
;
;
;
– описывают угловую зависимость в полярных и сферических координатах;
– входят в собственные функции оператора момента импульса и оператора Лапласа;
– множество
образует ортонормированный базис на
интервале
.
Полиномы исследовал Андре Мари Лежандр в 1785 г.
Уравнение Лежандра
,
(6.93)
Учитываем
,
тогда
.
(6.93а)
Для угловой переменной
,
,
,
из
(6.93а) для
получаем
.
(6.94)
Метод факторизации
Уравнение
(6.93)
гипергеометрического типа
-
.
Сравнение дает
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Граничные условия
в виде
дают
,
.
Весовая функция
-
,
.
Решение Родрига
дает
.
Полагаем
,
получаем формулу Родрига для полинома Лежандра
.
(6.96)
Свойство четности
,
(6.97)
тогда
,
n
– нечетное.
Ортонормированность
-
,
.
Учитываем
,
,
,
,
,
,
тогда условие ортонормированности
.
(6.112)
Производящая функция
-
,
,
.
Из уравнения для ξ
-
,
в виде
находим решение
,
которое
при
.
Использовано
,
.
Из
-
,
с учетом
,
получаем
.
Заменяем
,
тогда
,
(6.101)
.
(6.102)
Представление в виде полинома
Формулу Родрига
(6.96)
выражаем через полином. Используем бином Ньютона
1. Получаем
,
.
Подстановка в (6.96) дает первую полиномиальную форму
.
(6.98)
Следовательно, n – порядок полинома.
2. Преобразуем
,
используем бином Ньютона
тогда
,
.
Из
(6.96)
находим
.
Замена
дает вторуюполиномиальную
форму
.
(6.99)
Из (6.99) находим значения полинома на краях области определения
,
.
(6.100)
Полиномы низших порядков
Из
,
(6.96)
(6.98)
находим
,
,
,
,
.
Рекуррентные соотношения
Используем производящую функцию
,
(6.101)
.
(6.102)
1. Дифференцируем (6.101) по x, получаем
.
Подставляем (6.102)
,
приравниваем
коэффициенты при
,
получаем
.
(6.103)
2. Дифференцируем (6.101) по t
.
Подставляем (6.102)
.
Коэффициенты при t n
,
получаем
.
(6.104)
3. Дифференцируем (6.104)
.
4.
Исключаем
из последнего
соотношения и (6.103)
.
(6.105)
5.
Аналогично исключаем
.
(6.106)
6.
В (6.106) заменяем
.
Исключаем
с помощью (6.105)
,
(6.107)
7. Складываем (6.106) и (6.105)
.
(6.110)
Разложение функции по полиномам Лежандра
Если
определена при
,
тогда
.
(6.113)
Умножает
(6.113) на
,
результат интегрируем по интервалу
и учитываем
.
(6.112)
После
замены
получаем коэффициент
.
Подставляем
,
(6.96)
и интегрируем по частям n раз
.
(6.114)
Соотношение Лежандра
,
(П.6.4)
где
;
– угол между векторами r
и r0.
Используется в теории электромагнитного
поля.
Доказательство:
Учитываем
.
Замена
,
дает
.
Сравниваем с производящей функцией полиномов Лежандра
,
(6.101)
.
(6.102)
Находим
.
Замена
и
дает
,
(П.6.4)
При
заменяем
в (П.6.4)
.
(П.6.4а).
Разложение потенциала диполя по мультиполям
Потенциал в СГС поля диполя в точке A
.
При
разложение
,
(П.6.6)
где
– мультиполя,
Доказательство:
Из рисунка
,
,
тогда
,
.
Используем
,
(П.6.4)
.
Вычитаем друг из друга последние выражения. Четные слагаемые сокращаются, нечетные слагаемые удваиваются, и получаем (П.6.6).
При
главный вклад вносит первое слагаемое,
тогда
,
(П.6.7)
где
;
–дипольный
момент.
Присоединенные функции Лежандра
,
;
;
Входят
в состав сферических
функций,
описывающих угловую зависимость
состояния объекта в сферической системе
координат ,
и являющихся собственными функциями
оператора момента импульса. Число n
связано с модулем момента импульса, m
– с его проекцией на ось z.
Проекция вектора не может быть больше
его модуля, поэтому
,
для проекции возможны положительные и
отрицательные значения.
Уравнение с аргументом x
(6.115)
При
получаем уравнение Лежандра
,
(6.93)
тогда
.
Уравнение
с угловым аргументом
Учитываем
,
заменяем
,
,
,
для
выполняется
.
(6.116)
Формула Родрига
1.
Первая форма для
(6.117)
При
четном
– полином,
при
нечетном
– функция,
при
.
Учитывая
,
(6.96)
из (6.117) находим связь с полиномом Лежандра
.
(6.118)
2.
Вторая форма для
.
(6.119)
3.
Третья форма для
.
Используем
,
(6.117)
заменяем
,
сравниваем с (6.119) и получаем соотношение между функциями с положительным и отрицательным m
,
.
(6.120)
Низшие порядки
Используем
,
(6.117)
,
(6.119)
находим выражения для функций низших порядков:
;
,
,
;
,
,
;
,
;
;
свойство четности и частные выражения:
;
при
,
;
.
Выражение в виде ряда
Используем
,
(6.118)
.
(6.98)
Учитываем
,
получаем
.
(6.121)
Ортонормированность
Одинаковые верхние индексы
.
(6.123)
Одинаковые нижние индексы
.
(6.124)
Рекуррентные соотношения
1.
Дифференцируем
раз
,
(6.110)
находим
,
умножаем
результат на
,
сравниваем с (6.118)
и получаем
.
(6.125)
2. Дифференцируем m раз
,
(6.104)
находим
,
из формулы Лейбница
,
тогда получаем
.
Результат
умножаем на
,
используем
,
(6.118)
находим
.
(6.126)
3.
Исключаем
из (6.125) и (6.126). Получаем соотношение с
одинаковыми верхними индексами
.
(6.127)
4. Дифференцируем
,
(6.117)
находим
умножаем
результат на
и сравниваем с
.
(6.118)
В результате
.
(6.128)