- •Классические ортогональные полиномы
- •Интегралы с полиномами Эрмита
- •Гармонический осциллятор
- •Примеры
- •3. Доказать, что фурье-преобразование не изменяет форму уравнения гармонического осциллятора.
- •Обобщенные полиномы Лагерра
- •Уравнение Лагерра
- •Формула Родрига
- •Полиномиальное представление
- •Полиномы низших степеней
- •Производящая функция
- •Рекуррентные соотношения
- •2. Дифференцируя далее (6.54), получаем
- •Следует
- •Связанные состояния электрона в АтомЕ водорода Характеристики атома протия
- •Решение уравнения методом факторизации
- •Физический смысл параметров
- •Частные случаи
- •Полиномы Лежандра
- •Уравнение Лежандра
- •Метод факторизации
- •Представление в виде полинома
- •Полиномы низших порядков
- •Дифференцируем
- •. (6.132)
- •7. Складываем (6.128) и (6.130)
- •Интегралы с полиномами лежандра
- •Полиномы Чебышева первого рода
- •Уравнение Чебышева
- •Метод факторизации
- •Тригонометрическое представление
- •Полиномы Чебышева второго рода
- •Разложения функции
- •Аппроксимация полиномом
Полиномы низших степеней
Из (6.42) и (6.44) получаем:
,
,
,
.
При :
,
,
,
.
Производящая функция
Методом факторизации ранее получено
. (6.52)
По определению
(5.14)
с учетом получаем
. (6.53)
Рекуррентные соотношения
Дифференцируем по x (6.52)
.
Подставляем (6.53)
.
Приравниваем коэффициенты при
. (6.54)
2. Дифференцируя далее (6.54), получаем
, . (6.55)
В (6.55) при
,
заменяем и получаем выражение обобщенного полинома Лагерра через полином Лагерра
. (6.56)
3. Из уравнения Лагерра
, (6.41)
используя
, (6.54)
,
получаем
. (6.57)
4. Выражение
, (6.52)
дифференцируем по t
.
Подставляем
, (6.53)
получаем
.
Приравниваем коэффициенты при
находим
. (6.58)
5. Из
(6.52)
Следует
.
Подставляем
, (6.53)
получаем
.
Приравниваем коэффициенты при
. (6.59)
6. Из (6.58) в виде
с учетом (6.59)
,
получаем
. (6.60)
Заменяем и
. (6.61)
7. Из (6.58) в виде
вычитаем (6.61) и получаем
. (6.64)
Условие ортонормированности
Методом факторизации ранее получено (П.3.11). Доопределяем и получаем
. (6.67)
Разложение функции по ортонормированному базису
Функцию , определенную при , разлагаем по базису
. (6.68)
Находим коэффициенты разложения. Умножаем (6.68) на , интегрируем, учитываем (6.67). В сумме остается лишь одно слагаемое за счет символа Кронекера. После заменыполучаем
.
Подставляем
, (6.42)
интегрируем по частям n раз, находим коэффициент
. (6.69)
Интегралы с полиномами Лагерра
1. Вычисляем
, r – целое.
Подставляем
(6.42)
тогда
.
Интегрируем по частям n раз
,
где учтено
.
Используем определение гамма-функции
, (4.1)
находим
, , (6.70)
, . (6.71)
Из (6.70) при и
, (6.72)
. (6.73)
2. Вычисляем
, r – целое.
Подставляем
. (6.44)
Интегралы сводятся к
, (6.70)
тогда
=. (6.74)
При
, (6.75)
что дает условие нормировки (6.67).
При
. (6.76)
3. Вычисляем интеграл, отличающийся от (6.70) знаком перед r:
, r – целое, .
В формуле
(6.70)
заменяем , где:
,
где использовано
. (4.4)
Тогда из (6.70) после указанной замены
, . (6.77)
При ииз (6.77) получаем
, , (6.79)
. (6.80)
4. Вычисляем
, r – целое.
Для используем
. (6.44)
Интегралы сводятся к (6.77) в виде
,
тогда
. (6.81)
При и
, (6.82)
. (6.83)