![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математические основы квантовой механики
- •Основные положения
- •Волновая функция
- •ОператорЫ
- •Собственные функции операторА и собственные значения
- •ЭрмитовыЙ оператор
- •Эрмитовость оператора импульса
- •УсЛовия ортонормированности
- •Среднее значение величины
- •СоотношениЕ неопределенностей
- •ОператорЫ трансляции и эволюции
- •Уравнение Шредингера
- •Быстрота Изменения величины
- •Ток вероятности
- •Матрица плотности
СоотношениЕ неопределенностей
Для
измерения величины a,
описываемой оператором
,
частица в исследуемом состоянии
приводится во взаимодействие с
соответствующим прибором. Его состояние,
описываемое классической физикой,
изменяется. Регистрируем изменение и
получаем измеряемую величину. Повторяем
измерениеN
раз, находим
среднее значение и дисперсию
,
.
Если
исследуемое состояние совпадает с одной
из собственных функций оператора
,
то результат измерения однозначен и
погрешность равна нулю
,
.
Для
измерения величины
,
описываемой оператором
,
используется другой прибор. Если
и
коммутируют, то наборы их собственных
функций {Ψn}
совпадают, соответствующие измерения
совместимы. В состоянии
результаты однозначные
,
,
их точность не ограничена.
Если
эрмитовые операторы
и
не коммутируют
,
(2.29)
где
– эрмитовый оператор (доказательство
на практических занятиях),
то
и
имеют разные наборы собственных функций.
Измерительные приборы дляа
и b
несовместимы, действие одного прибора
нарушает работу другого. Например, на
лекции 1 показано, что при измерении
координаты волны используется экран
со щелью. Это вызывает дифракцию волны
и растет неопределенность импульса.
Измерить а
и b
одновременно с высокой точностью
невозможно. В состоянии
найдем связь между их флуктуациями, т.
е. абсолютными погрешностями:
,
,
где дисперсия по определению среднего равна
,
.
Ограничение
коммутатора.
Среднее от квадратичной формы эрмитовых
операторов
и
по любому состоянию Ψ не может быть
отрицательным
.
(2.30)
Во втором равенстве использована операция эрмитового сопряжения. Упрощаем левую сторону (2.30), учитывая эрмитовость операторов:
.
В результате коммутатор
ограничен
.
(2.31)
Соотношение
неопределенностей Гейзенберга.
В качестве
и
выбираем операторы относительного
отклонения от среднего
,
,
(2.32)
удовлетворяющие
.
С учетом
,
находим
,
,
.
Из (2.31) получаем
.
(2.33)
Если
операторы коммутируют, то
,
и измеренияa
и b
можно выполнить с неограниченной
точностью.
Соотношение неопределенностей координата-импульс. Коммутатор
сравниваем с (2.29)
,
получаем
,
,
из (2.33) находим
(2.37)
– чем точнее измеряется координата частицы, тем неопределеннее импульс, и наоборот. Локализация частицы приводит к увеличению неопределенности ее импульса и кинетической энергии. Аналогичная формула была получена в полуклассической квантовой механике.
Соотношение неопределенностей энергия-время. Средняя скорость частицы выражается через путь и время
.
Флуктуация кинетической энергии
,
тогда
.
Учитывая (2.37), находим
(2.39)
– чем точнее измеряется энергия, тем больший промежуток времени необходим для измерения;
– чем уже энергетический уровень δЕ возбужденного состояния, тем больше время его жизни δt.
ОператорЫ трансляции и эволюции
Развитие состояния частицы во времени описывает волновое уравнение Шредингера. Для вывода уравнения используем оператор эволюции, сдвигающий состояние объекта во времени. Он строится по аналогии с оператором трансляции, перемещающим состояние в пространстве.
Оператор
трансляции
сдвигает состояние объекта на расстояниеа
.
(2.44)
Для
получения оператора
разлагаем
в ряд Тейлора
Производную
по координате выражаем через оператор
импульса
,
находим
,
где квадратная скобка является разложение в ряд экспоненты. В результате оператор трансляции
.
(2.45)
Генератор трансляции пропорционален быстроте изменения оператора трансляции по параметру смещения вблизи нуля
.
(2.46)
Определению (2.46) удовлетворяет
.
Сравнение с (2.45) дает
.
(2.47)
Генератором перемещения является импульс.
Оператор
эволюции
передвигает состояние во времени на τ
.
(2.49)
По аналогии с (2.45) записываем
.
(2.50)
Знак минус в (2.50) обусловлен разными знаками пространственного и временного слагаемых в фазе волны де Бройля (1.11)
.
Генератор эволюции
(2.51)
сравниваем с генератором трансляции (2.46) и по аналогии с (2.47) получаем
,
.
(2.52)
Найдем
физический смысл
.
Рассмотрим действие
на волну де Бройля
,
описывающую частицу с полной энергией Е. Получаем
.
Это
уравнение на собственную функцию
оператора
,
где собственным значением является
полная энергия. Следовательно,
генератором эволюции
является оператор полной энергии, или
гамильтониан
– полная энергия, выраженная через
импульс и координату частицы.