- •Математические основы квантовой механики
- •Основные положения
- •Волновая функция
- •ОператорЫ
- •Собственные функции операторА и собственные значения
- •ЭрмитовыЙ оператор
- •Эрмитовость оператора импульса
- •УсЛовия ортонормированности
- •Среднее значение величины
- •СоотношениЕ неопределенностей
- •ОператорЫ трансляции и эволюции
- •Уравнение Шредингера
- •Быстрота Изменения величины
- •Ток вероятности
- •Матрица плотности
Собственные функции операторА и собственные значения
Собственная функция оператораопределяется уравнением
, (2.8)
где –собственное значение оператора. Под действием оператора его собственная функция восстанавливается с точностью до постоянного множителя, который называется собственным значением.
Физический смысл собственного значения – если система находится в состоянии , то измерение величиныA, описываемой оператором , дает однозначный результат. Собственные функции с разными собственными значениями взаимно ортогональны. Это исключает возможность получить при измерении неоднозначный результат.
Спектр оператора – это множество его собственных значений .
Если счетное, тоспектр дискретный.
Если образует непрерывный набор, тоспектр непрерывный.
Если k разных собственных функций имеют одинаковые собственные значения, то спектр k-кратно вырожден.
Коммутирующие операторы имеют одинаковый набор собственных функций, соответствующие физические величины одновременно имеют определенные значения.
Доказательство:
Пусть – собственная функция, тогда
.
Действуем оператором на обе стороны равенства
.
Учитываем коммутативность операторов
,
получаем
.
Следовательно, – собственная функция, пропорциональная:
.
Полученное равенство означает, что – собственная функцияс собственным значением.
Оператор координаты . Пусть– собственная функция с собственным значением, тогда
Верхнее равенство является определением оператора координаты, нижнее – определением собственной функции и собственного значения. В результате
Сравниваем с фильтрующим свойством дельта-функции
,
находим
.
Функция равна нулю во всех точках, кроме , гдеx0 – любое вещественное число, поэтому спектр x0 непрерывный. Вид функции согласуется с физическим смыслом состояния – частица обнаруживается в точке x0. В результате обоснована форма оператора координаты.
Как показано далее условие ортонормированности для непрерывного спектра имеет вид
.
Подстановка дает
.
Откуда , тогдасобственная функция оператора координаты, или волновая функция частицы, находящейся в точке x0, есть
. (2.9)
Оператор проекции импульса . Уравнение на собственную функцию дает
Получили дифференциальное уравнение первого порядка
.
Разделяем переменные
,
интегрируем
,
находим
.
Результат совпадает с координатной зависимостью плоской волны де Бройля
, (1.11)
описывающей движение частицы с постоянным импульсом. В результате обоснована форма оператора импульса. Поскольку p – любое вещественное число, то спектр непрерывный. Условие ортонормированности для непрерывного спектра
дает
.
Используя
,
находим . В результатесобственная функция оператора импульса, или волновая функция частицы, движущейся с импульсом p, равна
. (2.10)
ЭрмитовыЙ оператор
Для обеспечения вещественности и однозначности результатов измерения физической величины ее оператор должен быть эрмитовым. Операция эрмитового сопряжения определяется через интегральную квадратичную форму. Такая форма описывает, в частности, среднее значение измеряемой величины.
Эрмитово сопряженный оператор обозначается значком «+» и определяется в виде
. (2.11)
Интегрирование проводится по всему объему пространства, занятого частицей.
Свойства эрмитового сопряжения
,
,
,
, . (2.12)
Действительно,
,
,
где выполнено эрмитовое сопряжение первого оператора, а затем второго оператора.
Эрмитовый оператор не изменяется при эрмитовом сопряжении
. (2.13)
Из (2.11) получаем
. (2.14)
Свойства эрмитова оператора:
1) Собственные значения вещественные.
Доказательство:
В (2.14) полагаем , где– собственная функция оператора, учитываем
, ,
получаем
.
Следовательно,
(2.15)
– измеряемая величина вещественна.
2) Собственные функции, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Доказательство:
Пусть
, ,,.
Из (2.14) при ,получаем
.
Учитывая (2.15), находим
.
При выполняетсяусловие ортогональности
. (2.16)
– состояния ипри измерении не совместимы.