- •Введение
- •Часть 1. Случайные события. Раздел I: Комбинаторика.
- •Задачи к разделу I:
- •Раздел II: Операции над случайными событиями
- •Задачи к разделу II:
- •Раздел III: Непосредственный подсчет вероятностей.
- •Задачи к разделу III:
- •Раздел IV: Геометрические вероятности.
- •Задачи к разделу IV:
- •Раздел V: Условные вероятности. Вероятности сумм и произведений событий.
- •Задачи к разделу V:
- •Раздел VI: Формулы полной вероятности и Байеса.
- •Задачи к разделу VI:
- •Раздел VII: Схема Бернулли.
- •Задачи к разделу VII:
- •Часть 2. Случайные величины. §1. Одномерные случайные величины.
- •§2. Двумерные случайные величины.
- •Раздел I: Дискретные двумерные случайные величины.
- •Раздел II: Непрерывные двумерные случайные величины.
- •Смешанное мат. Ожидание
- •Задачи к разделу II: Непрерывные двумерные случайные величины.
- •Литература
- •Оглавление
Раздел II: Непрерывные двумерные случайные величины.
Плотностью распределения непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная производная ее функции распределения:
Случайная величина равномерно распределена в области D площадью SD , если ее плотность распределения задается так:
Значение константы однозначно определяется условием нормировки:
Отсюда:
Пусть X – непрерывная случайная величина с плотностью распределения ,Y – непрерывная случайная величина с плотностью распределения ,- плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины
По известной двумерной плотности распределения можно однозначно восстановить одномерные плотности распределения:
Случайные величины X и Y независимы, если
Плотность вероятности условного распределения непрерывной случайной величины Y при условии X=x (условная плотность):
Плотность вероятности условного распределения непрерывной случайной величины X при условии Y=y:
Отсюда
Основные числовые характеристики
Математическим ожиданием непрерывной двумерной случайной величины называется совокупность математических ожиданий одномерных случайных величин:
Точка с координатами называетсяцентром рассеивания.
Дисперсией двумерной случайной величины называется совокупность двух дисперсий:
Математическое ожидание функции непрерывной случайной величины :
Смешанное мат. Ожидание
Ковариация в случае непрерывных случайных величин:
Коэффициент корреляции:
, где ,-средние квадратические отклонения
Функции регрессии в случае непрерывных случайных величин есть условные математические ожидания:
, ,
где и- условные плотности распределения.
Задачи к разделу II: Непрерывные двумерные случайные величины.
Задания:
Написать выражение для
Найти ,
Найти координаты центра рассеивания
Сделать вывод о зависимости X и Y
Найти плотности условных распределений
Найти ковариационную матрицу
Найти
Варианты:
Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(-1,1), R(0,2) соответственно.
Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (-1,0), (1,2), (1,0).
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в квадрате со стороной а и диагоналями, совпадающими с осями координат.
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (-1,0), (0,1), (0,0).
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение в области:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (0,0), (0,2), (1,0).
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(-2,0), R(0,2) соответственно.
Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение в области:
Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(0,3), R(0,2) соответственно.
Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (-2,0), (1,2), (1,0).
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в квадрате со стороной, равной 2, и диагоналями, совпадающими с осями координат.
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид: