- •Введение
- •Часть 1. Случайные события. Раздел I: Комбинаторика.
- •Задачи к разделу I:
- •Раздел II: Операции над случайными событиями
- •Задачи к разделу II:
- •Раздел III: Непосредственный подсчет вероятностей.
- •Задачи к разделу III:
- •Раздел IV: Геометрические вероятности.
- •Задачи к разделу IV:
- •Раздел V: Условные вероятности. Вероятности сумм и произведений событий.
- •Задачи к разделу V:
- •Раздел VI: Формулы полной вероятности и Байеса.
- •Задачи к разделу VI:
- •Раздел VII: Схема Бернулли.
- •Задачи к разделу VII:
- •Часть 2. Случайные величины. §1. Одномерные случайные величины.
- •§2. Двумерные случайные величины.
- •Раздел I: Дискретные двумерные случайные величины.
- •Раздел II: Непрерывные двумерные случайные величины.
- •Смешанное мат. Ожидание
- •Задачи к разделу II: Непрерывные двумерные случайные величины.
- •Литература
- •Оглавление
Часть 2. Случайные величины. §1. Одномерные случайные величины.
Пусть () – вероятностное пространство (- пространство элементарных событий,S - -алгебра событий,-вероятности событий);- множество вещественных чисел.
Будем обозначать случайную величину,- принимаемые этой величиной значения.
Случайной величиной называется числовая функция, определённая на пространстве элементарных событий, которая каждому элементарному событиюставит в соответствие число, причем функциядолжна быть такова, чтобы для любого события была определена вероятность .
Случайная величина, принимающая конечное или счётное число значений, называется дискретной.
Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой таблицу, в которой значениям, принимаемым случайной величиной, сопоставлены их вероятности, причём, события образуют полную группу событий, то есть(условие нормировки):
…. | ||||
P |
…. |
Функцией распределения случайной величины называется функция , которая дляравна вероятности события:
есть неубывающая, непрерывная слева функция, удовлетворяющая свойствам:
Функция распределения дискретной случайной величины.
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется
Свойства.
Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если её плотность распределения:
Причем, константа однозначно определяется условием нормировки:
Основные числовые характеристики.
Математическое ожидание .
Для дискретной случайной величины , принимающей значенияс соответствующими вероятностями:
(ряд предполагается абсолютно сходящимся).
Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения :
(интеграл предполагается абсолютно сходящимся).
Начальный момент порядка k:
В случае дискретной случайной величины:
В случае непрерывной случайной величины:
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение
Центральный момент порядка k:
В частности,
Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной случайной величины:
Свойства основных числовых характеристик
MX |
DX |
|
|
|
|
|
|
|
X,Y – независимые случайные величины |
X,Y – независимые случайные величины |
|
§2. Двумерные случайные величины.
Функцией распределения двумерной случайной величины называется функция
Вероятность попадания в прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям координат:
Пусть X – случайная величина с функцией распределения ,Y– случайная величина с функцией распределения ,- функция распределения двумерной случайной величины
Раздел I: Дискретные двумерные случайные величины.
Пусть случайные величины иимеют законы распределения:
… | ||||
P |
… |
и
Y |
… | |||
P |
… |
Закон распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид таблицы:
X\Y |
y1 |
… |
ym |
x1 |
P11 |
|
P1n |
… |
… |
pij |
… |
xn |
Pn1 |
… |
Pnm |
где - значения, принимаемые случайными величинамиX и Y. Вероятности , соответствующие принимаемым значениям, удовлетворяют условию нормировки:
Из распределения двумерной случайной величины
X\Y |
y1 |
y2 |
x1 |
P11 |
P12 |
x2 |
P21 |
P22 |
можно получить законы распределения для одномерных случайных величин:
X\Y |
y1 |
y2 |
X |
x1 |
P11 |
P12 |
Px1= P11+ P12 |
x2 |
P21 |
P22 |
px2= P21+ P22 |
Y |
Py1= P11+ P21 |
Py2= P12+ P22 |
1 |
(суммируем вероятности соответственно по строкам и столбцам).
В результате получаем распределение для X:
X |
P |
x1 |
Px1= P11+ P12 |
x2 |
px2= P21+ P22 |
И распределение для Y:
Y |
y1 |
y2 |
P |
Py1= P11+ P21 |
Py2= P12+ P22 |
Для двумерной дискретной величины функция распределения определяется так:
Разберем пример построения функции распределения в случае, когда случайные величины X и Y заданы распределениями:
|
Y P |
Из определения функции распределения двумерной случайной величины в случае дискретной случайной величины следует:
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
Получаем функцию распределения :
Для зависимых случайных величин, образующих двумерную систему можно найтиусловные законы распределения и соответствующие им условные математические ожидания.
Условным законом распределения одной из случайных величин, входящих в систему двумерных случайных величин, называется закон ее распределения, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение:
или:
Получаем условный закон распределения для каждого :
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
Условное математическое ожидание:
Для каждого значения можно вычислить соответствующее математическое ожидание. В результате получаем зависимости.
Функция ) называетсяфункцией регрессии. Графики этих функций называются линиями регрессии.
Замечание. Аналогичным образом можно находить условные математические ожидания при .
Критерии независимости
Случайные величины инезависимы, если независимы события и.
Дискретные случайные величины независимы, если для
Случайные величины независимы, если условный и безусловный законы распределения совпадают.
Случайные величины X и Y независимы, если :
Основные числовые характеристики
Математическим ожиданием двумерной случайной величины называется совокупность математических ожиданий одномерных случайных величин:
Дисперсией двумерной случайной величины называется совокупность двух дисперсий:
Начальным моментом порядкаk+s системы называется
Замечания.
,
Начальный момент 2-го порядка ("смешанное мат. ожидание") вычисляется как:
Центральным моментом порядкаk+s системы называется
Замечание. ,
Математическое ожидание функции случайной величины :
Ковариацией иликорреляционным моментом называется:
Для дискретной случайной величины:
Ковариацию удобнее вычислять по формуле:
Замечания.
а).
б).
в). Для независимых случайных величин
Коэффициентом корреляции называется
,
где ,-средние квадратические отклонения
Замечания.
а).
б). Если случайные величины независимы:
в). Если (случайные величины связаны линейной зависимостью):
(и)
Ковариационной матрицей называется матрица
Задачи к разделу I: Двумерные дискретные случайные величины.
Задания:
Записать закон распределения случайного вектора (в виде таблицы)
Найти функцию распределения
Описать законы распределения отдельных компонент
Установить зависимость компонент X и Y
Найти условные законы и условные мат. ожидания, построить линии регрессий
Найти ковариационную (корреляционную) матрицу
Найти
Варианты:
Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X – число появлений «5», Y – число появлений четной цифры.
Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор четного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 3.
Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара. Первый начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго.
Случайная величина X принимает значения 0;1;3 с вероятностями 0,1;0,8;0,1. Случайная величина Y принимает значения -1;0;1 с вероятностями 0,3;0,5;0,2. X и Y независимы.
В продукции завода брак с дефектом первого типа составляет 4%, брак с дефектом второго типа – 2%. Годная продукция составляет 96%. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.
Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор нечетного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 2.
Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу извлекают 2 шара без возвращения. Случайные величины: X – число белых шаров в выборке, Y – число черных шаров в выборке.
Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор четного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 2.
Бросаются две игральные кости. Случайные величины: X - индикатор четности суммы выпавших очков, Y – индикатор нечетности произведения выпавших очков.
В продукции завода брак с дефектом первого типа составляет 2%, брак с дефектом второго типа – 1%. Годная продукция составляет 98%. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.
Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара. Первый начинает. X – число черных шаров у первого, Y – число черных шаров у второго.
Бросаются две игральные кости. Случайные величины: X - индикатор нечетности суммы выпавших очков, Y – индикатор четности произведения выпавших очков.
Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара. Первый начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго.
В продукции завода брак с дефектом первого типа составляет 5%, причем среди забракованной по этому признаку продукции в 3% случаев встречается дефект второго типа. В продукции, свободной от дефекта первого типа, дефект второго типа встречается в 2% случаев. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.
Бросаются две игральные кости. Случайные величины: X - индикатор нечетности суммы выпавших очков, Y – индикатор нечетности произведения выпавших очков.
Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор нечетного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 3.
Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара. Второй начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго.
Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X – число появлений «3», Y – число появлений нечетной цифры.
В продукции завода брак с дефектом второго типа составляет3%, причем среди забракованной по этому признаку продукции в 2% случаев встречается дефект первого типа. В продукции, свободной от дефекта второго типа, дефект первого типа встречается в 3% случаев. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.
Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара. Первый начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число черных шаров у второго.
Случайная величина X принимает значения -1;0;1 с вероятностями 0,2;0,5;0,3. Случайная величина Y принимает значения -1;0;1 с вероятностями 0,1;0,1;0,8. X и Y независимы.
Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X – число появлений «4», Y – число появлений четной цифры.
Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор нечетного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 5.
Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара. Первый начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго.
Случайная величина X принимает значения 0;3;6 с вероятностями 0,2;0,7;0,1. Случайная величина Y принимает значения -2;-1;0 с вероятностями 0,2;0,6;0,2. X и Y независимы.
В продукции завода брак с дефектом первого типа составляет 3%, брак с дефектом второго типа – 4%. Годная продукция (не содержащая брак с дефектами обоих типов) составляет 95%. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.