- •Специальные главы физики
- •Практическая значимость курса
- •Основы теории вероятностей Вероятность случайного события
- •Характеристики случайной дискретной величины Среднее значение случайной величины
- •X1, x2, …, xk.
- •Свойства среднего
- •Основные определения
- •Относительная флуктуация
- •Характеристики случайНой непрерывНой величиНы
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Условие нормировки
- •Среднее значение
- •Дисперсия
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
Дисперсия
В определение дисперсии подставляем (1.19а)
.
заменяем и находим
.
Последний интеграл вычислен по формуле из курса ММФ
.
Дисперсия
(1.20)
совпадает с результатом (1.18б) для распределения Пуассона.
Из (1.19а) и (1.20) получаем плотность вероятности, выраженную через дисперсию
. (1.21)
Характерная ширина распределения увеличивается, а высота уменьшается как корень квадратный из дисперсии.
Распределение Гаусса,
Центральная предельная теорема – при суммировании большого числа независимых случайных величин, имеющих различные распределения, результирующее распределение близко к распределению Гаусса.
Теорема обосновывает применимость нормального распределения к многочисленным случайным процессам. Теорему доказал А. Ляпунов в 1901 г.
Александр Михайлович Ляпунов (1857–1918)
Пример 1
Для распределения Пуассона найдем производящую функцию и среднеквадратичное число частиц.
Используем производящую функцию биномиального распределения (П.1.5)
.
С учетом (1.16) получаем
.
Для распределения Пуассона используем «замечательный предел»
,
где , тогдапроизводящая функция для распределения Пуассона
. (П.1.14)
Подставляем результат в (П.1.18)
.
Используем
,
,
получаем
. (П.1.14а)
Пример 2
Найдем распределение времен свободного пробега электрона металла.
Металлы первой группы таблицы Менделеева содержат в электронной оболочке один слабо связанный с атомом валентный электрон. При объединении атомов в кристаллическую решетку этот электрон становится свободным. В узлах кристаллической решетки металла остаются ионы, которые совершают тепловые колебания. Валентные электроны образуют идеальный газ с концентрацией . В любом макроскопическом объеме имеется одинаковое число положительных и отрицательных зарядов, поэтому на электрон не действуют электростатические силы. Благодаря тепловому движению электрон хаотически перемещается от столкновения с ионом до столкновения с другим ионом. При нормальной температуре средняя скорость теплового движения ~100 км/с.
При термодинамическом равновесии процессы стационарные и вероятность b столкновения электрона за единицу времени не зависит от момента t. Тогда за время dt вероятность столкновения
.
Функция распределения времен свободного пробега w(t) равна вероятности того, что время свободного движения лежит в единичном интервале около значения t. Вероятность свободного движения до момента t и столкновения в следующий промежуток dt по теореме умножения вероятностей независимых событий равна
,
и является уменьшением вероятности свободного движения при переходе от t к . В результате для вероятности свободного движения получаем
.
Разделяем переменные
,
интегрируем
,
где – вероятность, что время свободного движения лежит в единичном интервале около нуля. Получаем
,
потенцируем
.
Нормируем вероятность
,
получаем
, .
Среднее время свободного пробега
(П.1.22)
обратно вероятности столкновения электрона за единицу времени. При нормальной температуре . В результате функция распределения времен свободного пробега
. (П.1.23)
Следовательно, вероятность свободного движения в течение времени t уменьшается экспоненциально с ростом t.
Среднеквадратичное время свободного пробега
(П.1.23а)
равно удвоенному квадрату среднего времени свободного пробега, где интеграл вычислен по частям.