![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Специальные главы физики
- •Практическая значимость курса
- •Основы теории вероятностей Вероятность случайного события
- •Характеристики случайной дискретной величины Среднее значение случайной величины
- •X1, x2, …, xk.
- •Свойства среднего
- •Основные определения
- •Относительная флуктуация
- •Характеристики случайНой непрерывНой величиНы
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Условие нормировки
- •Среднее значение
- •Дисперсия
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
Характеристики случайНой непрерывНой величиНы
Плотность вероятности. Имеется случайная величина x, принимающая непрерывные значения. Вероятность обнаружения x в единичном интервале около выбранного значения называется плотностью вероятности результата
.
(1.11)
Сравните
с определением скорости
,
которая является перемещением за единицу
времени.
Вероятность
получения результата в интервале
равна
.
Пример:
Пусть
– скорость частицы идеального газа.
Частицы движутся хаотически и при
столкновениях меняют скорость. Вероятность
обнаружения частицы со скоростью в
интервале
равна
,
где
–концентрация
частиц со скоростями в интервале
шириной
;
n – концентрация частиц со всеми скоростями;
плотность вероятности
– вероятность обнаружения частицы со скоростью в единичном интервале около значения v.
Условие нормировки для непрерывного распределения
.
(1.12)
Средние значения
,
.
(1.13)
Рассмотрим основные дискретные распределения.
Биномиальное распределение
Имеются
N
независимых частиц или N
независимых попыток с положительным
или отрицательным результатами. Если
известна вероятность p
положительного результата для одной
частицы или попытки, то вероятность
положительного результата для любых
частиц или попыток описывается
биномиальным распределением
,
(1.26)
где
;
;
–биномиальный
коэффициент;
;
,
,
,
,
,
.
Распределение обосновал Бернулли, результат опубликован в 1713 г.
Якоб Бернулли (1654–1705)
Для
доказательства (1.26) рассмотрим идеальный
газ из N
тождественных частиц в объеме V,
все точки которого равноправны. Получим
вероятность обнаружения n
любых частиц в объеме
.
Вероятность найти определенную частицу в объеме V согласно (1.5)
.
Вероятность найти определенную частицу вне объема V
.
Эти несовместимые события образуют полный набор и удовлетворяют условию нормировки.
Вероятность найти n определенных частиц в объеме V согласно теореме об умножении вероятностей независимых событий (1.6) равна
. Вероятность найти (N – n) определенных частиц вне объема V равна
.
Вероятность найти одновременно n определенных частиц в объеме V и (N – n) других частиц вне этого объема
.
Взаимная перестановка тождественных частиц дает состояние, не отличимое от исходного. Число таких состояний есть число сочетаний n частиц из общего числа N и равно
.
Тогда вероятности найти n любых частиц в объеме V и (N – n) любых других частиц вне V равна (1.26).
Условие нормировки. Складываем вероятности всех возможных случайных результатов
,
где использована формула бинома Ньютона
.
Отсюда идет название распределения.
Исаак Ньютон (1642–1727)
Производящая функция биномиального распределения
.
(1.27)
Для доказательства (1.27) подставляем биномиальное распределение (1.26)
в определение производящей функции (П.1.14)
.
(1.27а)
Используем бином Ньютона
,
и получаем (1.27).
Выполняется условие нормировка (П.1.16) для биномиального распределения
.
Среднее число частиц в объеме V получаем подстановкой производящей функции (1.27)
в (П.1.17)
.
Находим
,
(1.28)
где
учтено
.
Результат очевиден, поскольку
– средняя концентрация.
Из (1.28) выражаем вероятность положительного результата у частицы
и подставляем в биномиальное распределение (1.26)
.
Получаем
вероятность
положительного результата для n
частиц,
если этот
результат наблюдается в среднем у
частиц
.
(1.29)
В
частности, вероятность отрицательного
результата у всех частиц, что соответствует
,
равна
,
вероятность
положительного результата у всех частиц,
что соответствует
:
.
Среднеквадратичное число частиц и дисперсия. Подставляем производящую функцию (1.27)
в (П.1.18)
.
Находим среднее квадратичное
(1.30)
и дисперсию
.
(1.31)
Дисперсия
равна нулю при
и
,
при
достигается максимальное значение
.
График
распределения
для
,
,
показан на рис. 1.1, a.
а б
Рис. 1.1. Распределения биномиальное (а)
и
Пуассона (б) дляN= 10,
,р= 0,45