СтудФайлы vol.1 / лабы / Лабы / маятник / МатМаят

Постановка задачи

Целью работы явилось изучение различных режимов колебательного движения математического маятника и определение ускорения свободного падения, коэффициента затухания системы, а также величин, характеризующих затухающие колебания: времени релаксации, числа колебаний системы за это время, логарифмического декремента затухания и добротности системы.

Приборы: установка – маятник с электронным секундомером (δ = 0.001 с) и транспортиром (δ =1°), миллиметровая линейка (δ = 1 мм).

Теоретическая часть

1.Математический маятник представляет собой тело малых размеров, подвешенное на длинной нерастяжимой нити.(рис.1).

Среди всевозможных колебаний, которые может совершать маятник, самыми простыми являются гармонические колебания. Чтобы получить период таких колебаний, необходимо принять некоторые условия, которые на практике в реальных колебательных системах выполняются лишь приближенно. Так, в случае мат. маятника пренебрежем силой сопротивления воздуха и отклонение нити маятника от равновесного положения будем считать малыми. Кроме того, будем считать, что нить маятника в любой момент времени находится в одной плоскости.

Рассмотрим произвольное положение маятника, когда его нить составляет угол  с вертикалью ОС (рис.1) Тогда второй закон Ньютона:

(1)

В проекции на :

(2)

Выразим a_ через :

; .

В нашем случае ось вращения проходит через т. О, , где - длина нити, =90⁰, тогда:

. (3)

Подставляя (3) в (2), получаем в случае малых колебаний ():

, (4)

где ₀²=g/l, ₀ – собственная частота колебаний.

Период колебаний:

. (5)

Решение уравнения (4) можно записать в виде:

, (6)

где А₀ – амплитуда колебания; ₀ – начальная фаза колебания; (₀t+₀) – фаза колебания. Постоянные А₀ и ₀ находят из начальных условий.

2.Затухающие колебания математического маятника.

Учтем влияние силы сопротивления воздуха F_c на движение маятника. При небольших скоростях:

, (7)

где  - постоянная величина, зависящая от свойств среды и от формы и размеров тела. Так, в случае движения шарика радиуса, R в неограниченной среде с коэффициентом вязкости :

(закон Стокса). (8)

С учетом (7) уравнение (4) примет вид:

, (9)

где 2 = /m,  - коэффициент затухания системы.

Решение уравнения (9) при малом затухании (<<₀) можно записать в виде:

, (10)

где  - частота колебаний, .

Амплитуда колебаний:

. (11)

Постоянные А₀ и ₀ находят из начальных условий.

Из (11) видно, что амплитуда колебаний уменьшается со временем, при этом частота и период колебаний остаются постоянными.

Для характеристики затухающих колебаний вводят следующие величины:

1. Время релаксации  - время, в течении которого амплитуда колебаний А уменьшается в е раз, где е – основание натурального логарифма. Из (11) получаем:

=1; =1/. (12)

За время  система совершает N=/T колебаний, где период колебаний:

. (13)

2. Логарифмический декремент затухания d – величина, характеризующая убывание амплитуды за период колебания:

. (14)

3. Добротность системы Q:

. (15)

3.Определение ускорения свободного падения g.

Есть 2 способа определения ускорения свободного падения:

1. Первый способ основан на зависимости T(l). Из (5) следует, что

. (16)

Период колебаний маятника находится по формуле , где - время, в течение которого маятник совершает колебаний.

2. Непосредственное измерение длины нити маятника представляет собой весьма трудную задачу, т. к. приходится определять место нахождения центра тяжести маятника. Поэтому можно поступить следующим образом: определить период колебаний Т₁ и Т₂ при различных длинах нити l₁ и l₂ соответственно. Тогда:

. (17)

В нашей работе будем использовать 1 способ.

Практическая часть

Во всех приведённых ниже расчётах погрешностей использовалась доверительная вероятность .

Сначала нужно было исследовать зависимость периода колебаний от амплитуды . Для этого были проделаны измерения, результаты которых приведены в таблице 1. Измерения производились при длине нити .

Табл. 1

Время 10 колебаний для разных углов отклонения
3°	5°	8°	10°	12°	15°	20°	25°	30°	35°	40°	45°	50°
13.453	13.479	13.498	13.506	13.523	13.548	13.587	13.655	13.720	13.801	13.908	14.030	14.166
13.458	13.476	13.498	13.510	13.523	13.546	13.585	13.642	13.723	13.811	13.912	14.029	14.149
13.456	13.478	13.502	13.510	13.523	13.541	13.579	13.652	13.723	13.802	13.904	14.022	14.179

Для построения графика были найдены средние значения времени колебаний. Результаты вычислений приведены в таблице 2.

Табл. 2

3°	5°	8°	10°	12°	15°	20°	25°	30°	35°	40°	45°	50°
13.456	13.478	13.499	13.509	13.523	13.545	13.584	13.650	13.722	13.805	13.908	14.027	14.165

По формуле найдем среднее значение периода колебаний для каждого значения амплитуды. Результаты вычислений приведены в таблице 3.

Табл. 3

3°	5°	8°	10°	12°	15°	20°	25°	30°	35°	40°	45°	50°
1.3456	1.3478	1.3499	1.3509	1.3523	1.3545	1.3584	1.3650	1.3722	1.3805	1.3908	1.4027	1.4165

График зависимости представлен на рисунке 2.

Рис. 2

По графику видно, что период колебаний не зависит от амплитуды при малых углах отклонения маятника. Для определения ускорения свободного падения первым способом необходимо исследовать зависимость . Перепишем данную формулу следующим образом , где . Далее необходимо:

1. Найти средние значения и .

2. Доказать методом линейной корреляции, что зависимость линейна.

3. Построить график зависимости и найти и методом наименьших квадратов.

4. По формулам получить и в .

Для выполнения пункта 1 проведем экспериментальные измерения времени 10 колебаний для различной длины нити . По измеренным значениям найдем и . Результаты приведены в таблице 4.

Табл. 4

	450	400	350	300	250	200	150	100
	451	399	349	299	251	201	149	100
	451	401	349	299	249	200	150	101
	451	399	350	300	250	200	150	100
	450	400	349	299	251	201	149	101
	13.517	12.582	11.962	10.864	10.065	8.811	7.895	6.541
	13.522	12.587	11.970	10.870	10.064	8.812	7.893	6.543
	13.516	12.587	11.966	10.869	10.065	8.815	7.894	6.545
	13.519	12.587	11.970	10.869	10.071	8.813	7.894	6.542
	13.518	12.588	11.969	10.868	10.065	8.811	7.898	6.543
	13.518	12.586	11.967	10.868	10.066	8.812	7.895	6.543
	1.8274	1.5841	1.4321	1.1811	1.0132	0.7765	0.6233	0.4281
	450.6	399.8	349.4	299.4	250.2	200.4	149.6	100.4

Используя данные таблицы 4, оценим коэффициент корреляции по формуле

Сначала вычислим средние значения средних значений длины и квадрата периода:

Численное значение приближенного коэффициента корреляции получилось равным . Оценка коэффициента корреляции, столь близкая к единице, является убедительным доказательством наличия линейной зависимости . Применяя метод наименьших квадратов, получим . Сделав необходимые преобразования, получим значение ускорения свободного падения:

График зависимости изображен на рисунке 3.

Рис. 3

Экспериментально была установлена зависимость амплитуды колебаний от времени в случае затухающих колебаний. Измерения производились при длине нити . Результаты измерений приведены в таблице 5.

Табл. 5

Угол отклонения	Время
60	0	4.0943
55	9.52	4.0073
50	22.77	3.9120
45	37.02	3.8067
40	56.09	3.6889
35	1'13.73	3.5554
30	1'45.08	3.4012
25	2'17.96	3.2189
20	2'56.24	2.9957
17	3'30.52	2.8332
15	3'44.27	2.7081
13	4'09.13	2.5650
11	4'38.97	2.3979
10	4'59.31	2.3026
8	5'33.58	2.0794
6	6'21.80	1.7918
4	7'28.90	1.3863
2	9'19.49	0.6932

Используя полученную зависимость, найдем коэффициент затухания системы . Для этого преобразуем формулу (11) из теоретической части: . Применяя метод наименьших квадратов, получим

. График функции изображен на рисунке 4. График зависимости изображен на рисунке 5.

Рис. 4

Рис. 5

Определим время релаксации , число колебаний , которое совершает система за время , логарифмический декремент затухания и добротность системы . Результаты вычислений приведены в таблице 6.

Табл. 6

Выводы

1. В процессе работы был произведен ряд экспериментов, по результатам которых были получены численные значения ускорения свободного падения, коэффициента затухания системы, а также величин, характеризующих затухающие колебания: времени релаксации, числа колебаний системы за это время, логарифмического декремента затухания и добротности системы.

2. Экспериментально было установлено, что период колебаний не зависит от амплитуды при малых углах отклонения маятника.

Рис.1