ТФКП-4sem
.pdfВариант 1
1. |
Представить в алгебраической форме |
|
(1+i)100 |
|
||||||
(1 i)96 i(1+i)98 . |
||||||||||
2. |
Найти угол между вектоpами z1 = 1 i è z2 = ( 1 + |
|||||||||
|
p |
3) + i(1 + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). |
|
|
|
|
|
||||
3. |
Представить в алгебраической форме |
p5 |
|
. |
||||||
32i4 |
||||||||||
4. |
Представить в аëгебраической и показательной фор- |
|||||||||
|
ìå z = ( 1 + ip3) 3i. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Найти дифференцируемую функцию f(z), если |
|||||||||
|
Im f(z) = |
|
|
y |
|
|
|
|
||
|
|
; f(0) = 1. |
|
|
|
|
||||
|
(x+1)2+y2 |
|
|
|
|
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 + y2 = c сохраняет сво¼ значение arg f(z).
7.Найти вершины правильного n-угольника, если его
центр находится в точке z = 0, а одна из вершин z1 известна.
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjzj > 1g на полуплоскость fIm ! > 0g так, чтобы !(2) = i; arg !0(2) = =2.
Найти образы а) прямой x + y = 2; б) окружности jz 1j = 1.
9.Конформно отобразить область f3x2 6y2 > 2; x > 0g с разрезом по лучу [1; +1) на правую полуплоскость.
10.Найти образ комплексной плоскости с разрезами по лучам ( 1; 1] и [1; +1) при отображении ! = Arcsin z.
11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по отрезкам [ 1; 1] и [ i; i] (внешность креста) на внешность единичного круга fj!j > 1g.
12. |
Конформно отобразить область fjzj < 1; |
jz + 1j > |
|||||||
|
1; Im z > 0g на внешность круга j!j > 2. |
|
|||||||
|
Найти интегралы |
|
|||||||
13. |
R |
|
1 + i до точки 1 + i. |
|
|||||
|
|
Re(sin z) cos z dz, где C отрезок прямой, от точки |
|||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
R |
(z9 + 1) dz, где C парабола y = x2, от точки 0 до |
|||||||
|
|
|
|
1 + i. |
|
||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки |
|
|
|
|
|
|||
|
R |
|
|
ez |
5 |
||||
15. |
|
|
|
|
|
dz, где C окружность а) jzj = 2 ; á) jz |
|||
C |
j |
|
(z2+4)(z 3) |
||||||
|
2 |
= 2. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
16. |
jz Rj |
|
z2+1 |
|
|
||||
(z 2)2(z+3) dz. |
|
||||||||
|
|
2 =1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2
1. Представить в алгебраической форме |
p3i 1 |
|
12 |
||
. |
|||||
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2. Найти угол между вектоpами z1 = 1 i è z2 = 5 + 3i.
p
3. Представить в алгебраической форме 8 256 i8.
4.Представить в алгебраической и показательной фор-
p 1 i
ìå z = |
1 |
+ |
3 |
i |
. |
|
2 |
||||||
|
2 |
|
|
|
||
5. Найти |
дифференцируемую функцию f(z), если |
jf(z)j = ex2 y2 .
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства y = cx сохраняет сво¼ значение Re f(z).
7.Точки z1 è z2 смежные вершины правильного n- угольника с центром в точке z = 0. Найти вершину z3, смежную с z2 (z3 6= z2).
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fIm z > 0g на область fj!j > 2g так, чтобы !(i) = 4; arg !0(i) = 0.
Найти образы а) прямой y = 1; б) мнимой оси; в) окружности jzj = 1.
9.Конформно отобразить область f4x2 + y2 > 4; z 2= [2i; 3i]g на единичный круг fj!j < 1g.
10.Найти образ области f0 < Re z < 1; Im z > 0g при отображении ! = tg z.
11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по лучам [ 1; 1], [1; +1], [ i1; i] и [i; +i1] на внешность единичного круга fj!j > 1g.
12.Конформно отобразить область fjzj < 2; jz 5=2j > 3=2g с разрезом по отрезку [0; 1] на верхнюю полуплоскость Im ! > 0.
Найти интегралы
R
13. jzj arg z dz, где C контур, состоящий из дуги
C
окружности z = 4ei'; 0 ' и отрезка действительной оси 4 x 4.
14. R (z5 +sin z) dz, где C левая дуга окружности jz ij =
C
1, от точки 0 до 2i.
15. R 2 ez dz, где C окружность а) jz 5ij = 1; б)
(z +5)(z+1)
C
jz + 1 5ij = 6.
16. |
jz Rj |
z2+2 |
|
dz. |
|
(z 3)2(z+4) |
|||||
|
|||||
|
3 =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
1. |
Предстàâèòü |
â |
алгебраической |
форме |
||||||||||
|
|
|
(p3+i)1000 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
p |
|
|
56 |
p |
|
|
|
|
73 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(1 i 3) |
|
i( 3 i) |
|
|
|
||||||||
2. |
Найти угол между вектоpами z1 = 1 + 2i è z2 = (1 |
|||||||||||||
|
2p |
3) + i(2 + p |
|
|
|
|
||||||||
|
3). |
|
|
p
3.Представить в алгебраической форме 6 729 i6.
4.Представить в алгебраической и показательной фор-
ìå z = 1 i 1+i.
p
2
5. Найти дифференцируемую функцию f(z), если
Re f(z) = r ln r cos ' 'r sin '.
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 + y2 = cx сохраняет сво¼ значение Re f(z).
7.Даны три вершины параллелограмма z1; z2; z3. Найти четвертую вершину z4, противоположную вершине z2.
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjzj < 2g на область fj!j > 1g так, чтобы
!(1) = 2; arg !0(1) = =2.
Найти образы а) горизонтального диаметра; б) окружности jzj = 1.
9.Конформно отобразить область fx2 y2 < 1g на область f0 < arg ! < =4g.
10. Найти образ области fRe z > 0; 0 < Im z < 1; z 2=
[2i ; 1+2 i ]g при отображении ! = ch z.
11.Конформно отобразить внешность единичного круга
с разрезами по отрезкам 1 jzj , arg z = 2k =n (k = 0; 1; : : : ; n 1) на внешность единичного круга fj!j > 1g.
12.Конформно отобразить область fjzj < 1; jz 5=4j < 3=4; Im z > 0g на внешность единичного круга j!j > 1.
Найти интегралы
13.R Re zz dz, где C лежащая в первом квадранте дуга
C
единичной окружности от точки 1 до точки i.
14. |
(z2 |
+ 3z + 1) dz, где C дуга параболы y = x2, îò |
|||||||
R |
|
|
|
0 äî 1 + i. |
|
||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки |
|
|
|
|
|
|
|||
Rz |
|
|
ez |
|
|
|
4j = 1; á) |
||
(z2 |
4 |
|
|
3i = 5. |
|||||
15. |
|
+3)(z 4) dz, где C окружность а) jz |
|||||||
C |
|
|
|
|
j |
|
|||
j |
|
|
|
||||||
jz Rj |
|
|
|
z2 |
|
|
|||
|
(z 4)2(z+1) dz. |
|
|||||||
16. |
|
|
|
|
|||||
|
|
4 =1 |
|
|
|
|
|
Вариант 4
|
|
|
|
|
5 |
9 |
p |
|
9 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
Представить в алгебраической форме |
(1+i) |
(i |
69 3) |
. |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1 i) |
||||||
2. |
Найти угол между вектоpами z1 = 1 i è z2 = (1 |
|||||||||||
|
p |
3) + i(1 + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Представить в алгебраической форме |
p6 |
|
. |
||||||||
343 i6 |
4.Представить в алгебраической и показательной форме z = (1 i)4+5i.
5. Найти дифференцируемую функцию f(z), если
Re f(z) = x3 3xy2 + 1; f(0) = 1.
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 + y2 = c сохраняет сво¼ значение jf(z)j.
7.При каком условии три попарно не совпадающие точ- êè z1; z2; z3 не лежат на одной прямой?
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fIm z > 0g на полуплоскость fIm ! > 0g
так, чтобы !(i) = i; arg !0(i) = =2.
Найти образы а) прямой y = 1; б) луча x = 0; y 0; в) окружности jz i=2j = 1=2.
9. |
Конформно |
отобразить область |
fx2=9 + y2=16 > |
||||
|
1; z 2= [3; 6]; |
z 2= [ 6; 3]g на верхнюю полуплоскость |
|||||
|
fIm ! > 0g. |
|
|
|
|
|
|
10. |
Найти образ |
области |
fjzj < 2; jz |
1j > 1g |
ïðè îòîá- |
||
|
z |
|
|||||
|
ражении ! = sin |
|
. |
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по лучу [ a; +1]; (a 0) и отрезку [ ci; ci]; (c > 0) на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.
12.Конформно отобразить область fjzj > 2; jz 5=2j < 3=2g с разрезом по отрезку [5=2; 4] на верхнюю полуплоскость Im ! > 0.
Найти интегралы |
|
||||||||
R |
|
2 + 2i до точки 2 + 2i. |
|||||||
13. |
|
|
Re(sin z) cos z dz, где C отрезок прямой, от точки |
||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. |
|
|
eiz cos 2z dz, где C правая дуга окружности jz |
||||||
Ri |
|
|
|
1 |
|
|
|
до точки . |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j = 2 от точки 0 |
i |
||||||
|
2 |
||||||||
R |
|
|
|
ez |
|
||||
15. |
|
|
|
|
|
dz, где C окружность а) jz + 2j = 1; б) |
|||
|
|
|
(z2 4)(z+5) |
||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jz + 5j = 4. |
|
||||||||
|
|
|
|
Rj |
|
z2+3 |
|
||
jz |
|
|
|
|
|
|
|
||
16. |
|
|
|
|
(z+2)2(z+4) dz. |
||||
|
|
+2 =1 |
|
|
|
|
Вариант 5
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
6 |
(112i |
p |
|
|
9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
Представить в алгебраической форме |
( |
|
3+i) |
3) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 i) |
|
|
|
|
||
2. |
Найти угол между вектоpами z1 = 1 3i è z2 = (3 + |
||||||||||||||||
|
p |
|
|
p |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) + i(1 3 |
3) |
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
3. |
Представить в алгебраической форме |
125 i3 |
|
|
|
|
4.Представить в алгебраической и показательной фор-
1 i
ìå z = |
1+i |
. |
||
p |
|
|
||
2 |
||||
5. Найти |
дифференцируемую функцию f(z), если |
|||
|
r2 cos 2'. |
|||
jf(z)j = e |
|
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 + y2 = c сохраняет сво¼ значение Im f(z).
7.При каком условии четыре попарно не совпадающие точки z1; z2; z3; z4 лежат на одной окружности или прямой?
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjzj < 1g на область fRe ! + Im ! > 0g так, чтобы !(0) = 1 + i; !0(0) > 0.
Найти образы а) вертикального диаметра; б) окружности jz + 1=2j = 1=2.
9. Конформно отобразить область fx2 y2 > 1=2; y > 0; x > 0g на верхнюю полуплоскость.
10.Найти образ первого квадранта при отображении ! = Arsh z.
11.Конформно отобразить на внешность единичного круга плоскость с разрезами по отрицательной части мнимой оси и по нижней половине единичной окружности.
12. Конформно отобразить область fjzj > 1; jz + 1j < 1; Im z < 0g на верхнюю полуплоскость Im ! > 0.
Найти интегралы |
|
|
|||||||
13. |
z Re z2 dz, где C отрезок прямой от точки 0 до |
||||||||
R |
|
|
|
1 + i |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки |
|
|
. |
|
|
|
|||
14. |
ez dz, где C отрезок прямой от точки 3+i до точки |
||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2i. |
|
|
|
|
|||||
Rz |
|
|
ez |
|
|
|
окружность а) jz + 5j = 1; б) |
||
+ 3 = 3. |
|
|
|
||||||
15. |
(z2 1)(z+5) dz, ãäå C |
||||||||
C |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
|
Rj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2+2 |
|
||||
jz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
+3 =1 |
(z+3)2(z2+4) dz. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6
1. |
Представить в алгебраической форме |
(1+i123)(1+i)8 |
||||||||||
|
(1 ip |
|
|
|
|
|||||||
3)5 |
. |
|||||||||||
2. |
Найти угол между вектоpами z1 = 1 + 3i è z2 = (1 |
|||||||||||
|
p |
|
p |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3) + i(3 3 3) |
|
p6 |
|
|
|
|
|
|||
3. |
Представить в алгебраической форме |
|
. |
|||||||||
64 i12 |
4.Представить в алгебраической и показательной форме z = ( 3 + 4i)1+i.
5. Найти дифференцируемую функцию f(z), если
Im f(z) = 2' ln r.
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства ' r = c сохраняет сво¼ значение arg f(z).
7.Найти sin z sin 2z + + ( 1)n+1 sin nz.
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fIm z > 0g на область fj!j < 1g так, чтобы !(5i=4) = 1=2; !0(5i=4) > 0.
Найти образы а) луча fx = 0; y 1g; б) окружности jzj = 5=4.
9.Конформно отобразить область fx2=9 y2=16 < 1g на верхнюю полуплоскость.
10. Найти образ круга jzj < 1 при отображении ! = 2z
z +1 .
11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по отрезку [ i; 0]; ( > 1) и по нижней половине единичной окружности jzj = 1; arg z 0 на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.
12.Полуплоскость Re z > 0 с выкинутым кругом jz hj < 1 (h > 1) конформно отобразить на кольцо 1 < j!j < 2. Найти h.
|
Найти интегралы |
|
|
|
||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
1 = 1 |
|
||
13. |
C jzj dz, где C контур, состоящий из верхней дуги |
|||||||||||||
|
окружности |
j |
|
j |
|
и отрезка действительной оси |
||||||||
|
0 x 2. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14. |
|
(cos z + z5) dz, где C парабола y = x2 + 1 от точки |
||||||||||||
|
Ri до точки 2 + 2i. |
|
|
|||||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
Rz |
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
окружность а) jz + 2j = 1; б) |
|||
+ 2 + 3i = 4. |
|
|
||||||||||||
C |
|
(z2+3)(z+2) dz, ãäå C |
||||||||||||
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
j |
|
Rj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16. |
|
|
|
|
z2+4 |
|
|
|
|
|
||||
jz |
|
(z+4)2(z2+1) dz. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
+4 =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|||
|
|
|
|
(i6+ip |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)100 |
|
Представить |
|
|
|
|
|
||||||
1. Представить в алгебраической форме |
(1+i)12 1. |
â |
|
алгебраической |
форме |
||||||||||||
|
|
|
|
i999 |
|
||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
6 |
p |
|
|
10 . |
|
2 i |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|||||||||
. |
|
|
|
|
( |
3+i) |
+(1+i) (1+i |
3) |
|
|
|||||||
|
1+2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти угол между вектоpами z1 = 1 + 3i; z2 = ( 1 |
|||||||||
|
p |
|
|
p |
|
|
. |
|
|
|
|
3 3) + i( |
|
3 3) |
|
p3 |
|
|
|||
|
|
|
. |
|||||||
3. |
Представить в алгебраической форме |
216 i3 |
4.Представить в алгебраической и показательной форме z = ( 3 + 4i)1+i.
5. Найти дифференцируемую функцию f(z), если
Re f(z) = ln2 r '2.
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства y = cx сохраняет сво¼ значение Im f(z).
7. Доказать, что Arctg z = |
i |
|
Ln i+z |
= |
1 |
Ln 1+iz |
|
2i |
|||||
2 |
i z |
|
1 iz |
8. Найти функцию !(z), конформно отображающую область fRe z < 1g на область j!j > 1 так, чтобы
!(0) = 2; arg !0(0) = 0
Найти образы а) мнимой оси; б) окружности jz 1j = 1.
9.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fx2 y2 < 1g на круг fj!j < 1g так, чтобы
!(0) = 0; !(1) = 1.
10.Найти образ области fRe z > 0; 1 < Im z < 0g при отображении ! = ch z.
2. |
Найти угол между вектоpами z1 = 1 + 3i è z2 = (1 |
|||||||||||
|
3p |
3) + i(3 + p |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3). |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
p4 |
|
. |
|||||
3. |
Найти все значения |
81 i4 |
||||||||||
4. |
Представить в аëгебраической и показательной фор- |
|||||||||||
|
ìå |
|
|
p |
3) |
3+2i. |
||||||
|
|
z = ( 1 i |
|
|
|
|
|
|||||
5. |
Найти |
дифференцируемую функцию f(z), если |
||||||||||
|
Im f(z) = 1 |
y |
; f(1) = 1 + i. |
|||||||||
|
x2+y2 |
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 + y2 = cx сохраняет сво¼ значение jf(z)j.
7.При каких z все значения функции Arcsin z действительны?
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fRe z > 1g на область fj!j < 1g так, чтобы !(0) = 0; arg !0(0) = .
Найти образы а) луча y = 0; x 1; б) окружности jz 1j = 1.
9.Конформно отобразить область f3x2 6y2 > 2; x > 0g
q
с разрезом по отрезку [ 23 ; 1] на правую полуплоскость.
10.Найти образ верхней полуплоскости Im z > 0 при отображении ! = Arcsin z.
11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по
отрезку [ 1; b]; (b > 1) и по дуге окружности с кон11. Конформно отобразить на верхнюю полуплоскость
цами в точках e i ( =2 < < ), проходящей через точку z = 1, на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.
12. Расширенную комплексную плоскость с выкинутым полукругом fjzj 1; Im z 0g и разрезом по отрез-
ку [ i; 0] конформно отобразить на единичный круг j!j < 1.
Найти интегралы
R
13.jzjz dz, где C проходимая против часовой стрелки
C
дуга окружности jzj = 4; Re z 0.
14. |
R |
(cos z + z7) dz, где C отрезок прямой, от точки 1 до |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
C |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||||
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
окружность а) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ãäå |
; |
|||||||
|
|
|
z + 4i |
|
= 4 |
|
||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
C |
jz |
5ij = 1 |
|||||||||
C |
|
(z2 |
+5)(z2 |
+49) dz |
|
|
||||||||||||
|
á) |
j |
|
|
|
|
j |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16. |
jz 2Rij=1 |
|
|
z2+5 |
|
dz. |
|
|
|
|||||||||
(z 2i)2(z2+4) |
|
|
|
внешность единичного круга с разрезами по отрезкам
[i; bi], [ bi; i], [1; a], [ a; 1] (a > 1; b > 1).
12. Расширенную комплексную плоскость с выкинутым полукругом fjzj 1; Re z 0g и разрезом по лу-
чу [0; +1] конформно отобразить на единичный круг j!j < 1.
|
Найти интегралы |
|
|
|
|
|
|
||||||
13. |
C jzj Re z2 dz, где C дуга окружности jzj = 2; Im z |
||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, начальная точка z = 2. |
|
|
|
|||||||||
14. |
C (ez |
+ e2z) dz, где C отрезок прямой от точки i до |
|||||||||||
|
R |
|
1 + i. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
ez |
, ãäå |
|
окружность а) |
p |
|
; |
||||
15. |
|
|
|
dz |
|
|
C |
|
jz 1 ij = 2 |
||||
|
(z2+1)(z2 1) |
|
|
|
|||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á) jz + ij = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16. |
jz+3Rij=2 |
z2+1 |
|
dz. |
|
|
|
|
|||||
(z+3i)2(z2+4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|||
1. |
Представить |
|
|
|
|
|
|
|
â |
|
алгебраической |
форме |
||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
10 |
|
|
6 |
+i(1+ip |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3+i) |
(1 i) |
3)13 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(1+i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти угол между вектоpами z1 = 1 + 3i è z2 = (1 + |
|||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 3) + i(3 |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
Представить в алгебраической форме p8 |
|
. |
|||||||||||||||||||||
8i2 |
||||||||||||||||||||||||
4. |
Представить в алгебраической и показательной фор- |
|||||||||||||||||||||||
|
ìå |
|
z = (1 |
|
i |
p |
|
|
3i |
|
2. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти |
дифференцируемую функцию |
f(z), åñëè |
|||||||||||||||||||||
|
arg f(z) = x y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства (x2 + y2) ex = c сохраняет сво¼ значение jf(z)j.
7.Решить уравнение sin z cos z = i
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fIm z < 0g на область fj!j > 1g так, чтобы !( 2i) = 2i; arg !0( 2i) = =2.
Найти образы а) прямой y = 2; б) мнимой оси; в) окружности jz + ij = 1.
9. Конформно отобразить область f2x2 2y2 < 1; y > 0; z 2= [0; 2i]g на внешность единичного круга.
10.Найти образ первого квадранта при отображении ! = Arcsin z.
11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по отрезкам [ 1; 1] и [ i; 0] на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.
12.Верхнюю полуплоскость с выкинутой четвертью круга fjzj 1; =4 arg z 3 =4g конформно отобразить на единичный круг j!j < 1.
|
Найти интегралы |
|
|
|||||||||
13. |
R |
z Im z10 dz, где C отрезок прямой, соединяющий |
||||||||||
|
|
|
|
0 è |
|
|
1 i |
|
||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки |
|
|
|
. |
|
|
|||||
14. |
C (ez + z3) dz, где C парабола y = x2, от точки 1 + i |
|||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
1 + i. |
|
|
|
||
|
до точки |
|
|
|
|
|
|
|||||
15. |
Rp |
ez(z+1) |
|
|
|
окружность а) jz 3(1 + i)j = |
||||||
; á) |
|
|
|
5 |
|
|
||||||
C |
(z2+9)(z2 |
4) dz, ãäå C |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
jzj = 2 . |
|
|
|
||||
16. |
jz 4Rij=1 |
|
|
z2+5 |
|
dz. |
|
|||||
(z 4i)2(z2+1) |
|
Вариант 10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+i)9+2(p |
|
|
|
|
|||
1. |
Представить в алгебраической форме |
3+i)3 |
||||||||||||||||||
(1+i)7+(ip |
|
1)3 |
. |
|||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||
2. |
Найти угол между вектоpами z1 = 1 3i è z2 = |
|||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
3) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( 1 3 3) + i( 3 |
|
p4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
Представить в алгебраической форме |
|
. |
|||||||||||||||||
16 i3 |
||||||||||||||||||||
4. |
Представить в алгебраической и показательной фор- |
|||||||||||||||||||
|
ìå |
z = (1 i |
p |
|
|
7i+2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
Найти дифференцируемую функцию f(z), если |
Re f(z) = e y cos x; f(0) = 1.
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x + ln(x2 + y2) = c сохраняет сво¼ значение arg f(z)
7.Решить уравнение sin z cos z = 3.
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fIm z > 0g на полуплоскость fIm ! > 0g
так, чтобы !(1 + i) = i; arg !0(1 + i) = =2.
Найти образы а) луча x = 1; y 0; б) окружности jz ij = 1.
9. Конформно отобразить область f3x2 6y2 > 2; y > 0; x > 0g на верхнюю полуплоскость.
10.Найти образ области f0 < Re z < 2 ; Im z > 0g при отображении ! = sin z.
11.Конформно отобразить внешность единичного круга с разрезами по отрезкам [ 2; 1], [ 2i; i] и [i; 2i] на
верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.
12. |
Конформно отобразить область |
fjzj < 1; |
p |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jz 2j > |
|||
|
1; Im z > 0g на единичный круг j!j < 1. |
|
|
|
||||||||||
|
Найти интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13. |
R |
jzj dz, ãäå C : jzj = p |
|
; |
34 arg ' 54 . |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
R |
(ez + sin z) dz, где C отрезок прямой от точки 1 + i |
||||||||||||
|
|
|
|
2 + 4i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15. |
jzjR=a |
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
)dz. |
(äëÿ |
всех действительных a > |
||||||||||
(z2+1)(z 3) |
||||||||||||||
|
0; a 6= 1; a 6= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16. |
jz+2Rij=1 |
|
z2+7 |
dz. |
|
|
|
|
|
|||||
(z+2i)2(z+7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 11 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Представить |
|
|
|
â |
|
|
|
|
алгебраической |
форме |
||||||||||||||||
|
|
|
|
(1+ip |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3)51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
(1+i)12+64(sin |
|
+i cos |
|
)3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
Найти угол между вектоpами |
p |
|
|
|
p |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 = ( |
5+1)+i(3 |
5+2) |
|||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
z2 = (4 5 + 3) + i(2 5 + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
Представить в алгебраической форме |
|
p4 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
256 i4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
4. |
Представиòь в алгебраической и показательной фор- |
||||||||||||||||||||||||||
|
ìå |
z = ( |
p |
|
|
|
|
i) |
5i |
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Найти |
дифференцируемую |
функцию |
f(z), |
åñëè |
Im f(z) = 2xy; f(0) = 1.
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства r = c cos ' сохраняет сво¼ значение arg f(z).
7.Найти sin + sin( + ) + + sin( + n ).
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую круг fjzj < 1g на полуплоскость fIm ! > 0g так, чтобы
!(1=2) = i; arg !0(1=2) = =2.
Найти образы а) горизонтального диаметра; б) окружности jz 3=4j = 1=4.
9.Конформно отобразить область fx2=9 y2=16 > 1; y < 0; x > 0g на верхнюю полуплоскость.
10.Найти образ области f0 < arg z < =ng при отобра-
жении ! = 2zn
1+z2n .
11.Конформно отобразить круг jzj < 2 с разрезами по отрезкам [ 1; 2] и [ i; i] на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.
12.Конформно отобразить область fjzj < 1; jz 1 + 2ij > 2; jz + 1 + 2ij > 2g на внешность круга j!j > 1.
Найти интегралы
R
13.z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 = 2
C
è z3 = 1 через точку z2 = i.
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
Представить |
â |
|
|
алгебраической |
форме |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3+i)33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
19 |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( 1 i)11+32(sin |
|
i cos |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
Найти угол между вектоpами |
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 = ( 7 3)+i(2 7 1) |
|||||||||||||||
|
è |
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
. |
|||||||
|
|
z2 = ( |
7 + |
|
3 3 2 |
|
21) + i(2 |
7 + |
|
|
21 1 3 |
3) |
|
|||||||||||||||||||
3. |
Представить в алгебраической форме |
|
p8 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
256 i8 |
|
|
|
|
|
4.Представить в алгебраической и показательной форме z = (i 1)3+2i.
5. Найти дифференцируемую функцию f(z), если arg f(z) = ' + r sin '.
6. Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства ' ln r = c сохраняет
сво¼ значение Re f(z).
7.Найти все z, для которых j tg zj = 1.
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjzj < 2g на полуплоскость fRe ! > 1g так, чтобы !(1) = 1; arg !0(1) = 0.
Найти образы а) горизонтального диаметра; б) окружности jz 5=2j = 3=2.
9.Конформно отобразить область f4x2 + y2 > 4g на область f0 < Im ! < 1g.
10.Найти образ полуплоскости Re z < 0 с разрезом по лучу ( 1; 1] при отображении ! = Arcsin z.
11.Конформно отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с разрезами по лучам ( 1; 1], [1; +1) и по правой половине единичной окружности.
12.Найти общий вид дробно-линейного отображения области fjz 3j > 9; jz 8j < 16g на кольцо 1 < j!j < R.
Найти интегралы
R
13.z dz, ãäå C : jz 1j = 2; 0 arg(z 1) .
C
14. |
R |
(z2+1) dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 = |
14. |
cos |
2 |
z dz, ãäå C : jz 1j = 2; 0 arg(z 1) . |
||||||||||
|
|
2 è z3 = 1 через точку z2 = i. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
sin 2z |
|
, где окружность а) |
3 |
|
R |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
15. |
|
|
|
j |
|
|
|
C |
jzj = 2 ; á) jz |
|
|
|
|
|
||
|
(z2 |
|
|
|
15. |
z(z+2) dz (для всех действительных a > 0; a = 2). |
||||||||||
|
|
+4)(z 1) dz |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
6 |
||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jzj=a |
|
|
|
|
|
1 + 2i = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16. |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
16. |
|
|
e2z |
|
||
jz+3j=3 (z+3)e2(z 4) dz. |
|
jzjR=2 (z+1)2 dz. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
Представить |
99 |
|
â |
алгебраической |
|
|
|
форме |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
p |
|
|
|
|
7 |
|
p |
|
|
|
2 |
|
|
|
19 |
|
14 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
( 3+i) |
+8 2( cos |
21 |
+i sin |
21 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Найти угол между вектоpами z1 = (p |
|
|
p |
3)+i(2p |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
7 |
3+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
. |
||||||
|
7) |
|
z2 |
= (3+2 |
3+ |
7 |
|
21)+i( 3 21 |
|
7 6) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Представить в алгебраической форме |
|
|
256 i4 |
|
|
|
|
|
4.Представить в алгебраической и показательной фор-
2i+4
ìå z = |
|
1+i |
. |
||
|
p |
|
|
||
|
3 i |
||||
|
|
|
|
||
5. Найти |
дифференцируемую функцию f(z), если |
Re f(z) = e2x+1 cos y; f(0) = 2.
ex
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства ch x cos y = c сохраняет сво¼ значение jf(z)j.
7. Доказать, что tg 2z = |
2 tg z |
|
1 tg2 z . |
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fRe z > 0g на область fj!j > 2g так, чтобы !(1) = 4; arg !0(1) = 0.
Найти образы а) луча x = 1; y 0; б) окружности jz 1=2j = 1=2.
9.Конформно отобразить область f3x2 6y2 < 2; y < 0g íà êðóã jzj < 1.
10.Найти образ области f0 < Im z < g при отображении
! = ch z.
11.Конформно отобразить всю плоскость с разрезами по отрезку [ 1; 1],по дуге окружности с концами в точ-
êàõ e i (0 < < =2), проходящей через точку z = 1, и по дуге окружности с концами в точках e i (0 < < =2), проходящей через точку z = 1, на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.
12.Найти общий вид дробно-линейного отображения области fjz 5j > 4; Re z > 0g на кольцо 1 < j!j < R.
|
Найти интегралы |
|
|
|
|
||||||
13. |
R |
1 è z3 |
= 1 через точку z2 |
= 2i. |
|
||||||
|
Re z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 |
= |
|||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
C e2z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 = 1 |
||||||||||
|
R |
z3 = 1 |
|
|
z2 = 2i |
|
|
||||
|
è |
|
|
|
|
через точку |
|
|
. |
|
|
|
R |
|
sin 2z |
|
|
|
|
|
3 |
||
15. |
|
|
|
dz, где C окружность а) jzj = 2; б) jz 2j = 2 . |
|||||||
C |
|
z(z 1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jzjR=1 |
ez |
1 |
|
|
|
|
|
|||
16. |
(z2+4)z2 |
dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 14 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Представить |
â |
|
алгебраической |
форме |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3+i)7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( p |
|
i)5+i( sin |
|
|
+i cos |
|
)33 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
18 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
Найти угол между вектоpами |
10 + 1) + i(1 |
||||||||||||||||||||||
|
p |
10) è z2 = 2p |
|
+ 2i. |
|
|
z1 = ( |
|
||||||||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3. |
Представить в алгебраической форме |
p3 |
|
. |
||||||||||||||||||||
8i |
||||||||||||||||||||||||
4. |
Представить в алгебраической и показательной фор- |
|||||||||||||||||||||||
|
ìå z = |
3p3+i |
4i+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
Найти |
дифференцируемую |
функцию |
f(z), åñëè |
Re f(z) = 1 sin y ex; f(0) = 1 + i.
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства ln2 r '2 = c сохраняет сво¼ значение jf(z)j.
7.Найти все значения z, для которых все значения функции Arccos z действительны.
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплоскость fIm z > 0g на полуплоскость fIm ! < 0g
так, чтобы !(2i) = 2i; arg !0(2i) = =2.
Найти образы а) луча x = 0; y 0; б) окружности jz ij = 1.
9.Конформно отобразить область fx92 y162 < 1g с разрезом по отрезку [ 3; 0] на верхнюю полуплоскость.
10.Найти образ области f0 < Im z < ; Re z < 0g при отображении ! = ch z.
11.Конформно отобразить верхнюю полуплоскость с разрезами по отрезку [0; i],по дуге окружности jzj =
1; |
0 arg z =4 и по дуге окружности jzj = |
1; |
3 =4 arg z на верхнюю полуплоскость |
fIm ! > 0g.
12.Найти общий вид дробно-линейного отображения области fjz ij > 2; jz + ij < 5g на кольцо < j!j < 1.
|
Найти интегралы |
||||
|
R |
|
|
|
|
13. |
C jzj dz, где C : jz 1j = 1; Im z < 0, начальная точка |
||||
|
z = 0. |
||||
14. |
C sin2 z dz, C : jz 1j = 1; Im z < 0, начальная точка |
||||
|
R |
|
|
|
|
|
z = 2. |
||||
|
R |
|
sin z2 |
||
15. |
|
|
|
dz, где C окружность а) jzj = 3; б) jz |
|
C |
(z2+1)(z 2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2j = 2. |
||||
16. |
jzjR=3 |
e2z |
|||
|
dz. |
||||
(z2+4)z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
Представить |
â |
алгебраической |
форме |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 i)15 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(ip |
|
1)10 ( sin |
2 |
i cos |
11 |
)30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
9 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Найти угол между вектоpами z1 = ( p |
|
|
+ 3) + i( 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
2. |
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
è |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
. |
||
|
6) |
|
z2 |
= ( 6 3+2 |
3+3 2)+i( 3 2+3 |
3+2+ |
6) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
p4 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3. |
Представить в алгебраической форме |
16 i3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4. |
Представить в алгебраической и показательной фор- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ìå z = 2+8i |
3+2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти |
дифференцируемую функцию |
f(z), |
åñëè |
Im f(z) = x2 y2 + 2x + 1; f(0) = i.
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства r2 cos 2' = c сохраняет сво¼ значение Im f(z).
7.Решить уравнение ch z sh z = 1.
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjzj > 2g на полуплоскость fIm ! < 0g так, чтобы !(4) = i; arg !0(4) = =2.
Найти образы а) луча y = 0; x > 2; б) окружности jz 5=2j = 3=2.
9.Конформно отобразить область fx2 y2 < 1g с разрезом по отрезку [0; 1] на область j!j < 1.
|
|
|
|
|
|
Вариант 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
Представить |
â |
алгебраической |
форме |
||||||||||||||||
|
|
|
( 1+ip |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3)17 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(1 i)23+p |
|
( sin 8 i cos 8 )62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Найти угол между вектоpами z1 = (5p |
|
3+7)+i(2 p |
|
|
|||||||||||||||
2. |
|
3) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
è |
z2 = (17 + 6 |
3) + i( 3 |
|
3 10) |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
Представить в алгебраической форме p3 |
|
. |
|||||||||||||||||
27 i3 |
4.Представить в алгебраической и показательной фор-
7i 1
ìå z = |
2+3i |
. |
|
1 5i |
|
5. Найти |
дифференцируемую функцию f(z), если |
Re f(z) = r' cos ' + r ln r sin '.
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 + y = c сохраняет сво¼ значение jf(z)j.
7.Найти все значения z, для которых j th zj = 1.
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjz + 1j < 1g на область fj!j < 1g так, чтобы
!( 1=2) = i=2; arg !0( 1=2) = 0.
Найти образы а) горизонтального диаметра; б) окружности jz 1=4j = 3=4.
9.Конформно отобразить область fx2+4y2 > 4g с разрезом по отрезку [ 3; 2] на область fIm ! > 0; Re ! >
0g.
10.Найти образ комплексной плоскости с разрезами по
мнимой оси вдоль лучей ( 1i; i] и [i; +1i) при отоб10. Найти образ области f0 < Re z < ; Im z < 0g при
ражении ! = Arsh z. |
отображении ! = tg z. |
11.Конформно отобразить верхнюю полуплоскость с разрезами по отрезку [0; i] и по дуге окружности jzj = 1; =4 arg z 3 =4 на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.
12.Найти общий вид дробно-линейного отображения области fjzj > 2; jz 5j > 2g на кольцо 1 < j!j < R.
Найти интегралы
13. |
R3 |
|
|
|
|
2 |
|
z; dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 |
= i è |
||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
z |
= 2 + i через точку z = 1. |
|
||||
14. |
cos2 z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 = |
||||||
|
Ri è z3 = 2 + i через точку z2 = 1. |
|
|||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
R |
ez |
|
|
|||
15. |
|
|
dz, где C окружность а) jzj = 1; б) jz 2ij = |
||||
C |
z(z2+4) |
||||||
|
3. |
|
|
|
|
|
|
16. |
jzjR=2 |
cos 2z |
|
|
|||
|
dz. |
|
|
||||
(z 1)3 |
|
|
11. Конформно отобразить на верхнюю полуплоскость
внутренность |
|
|
x2 |
|
|
|
|||
правой ветки гиперболы |
fcos2 |
|
|
||||||
|
y2 |
||||||||
|
|
> 1; x > 0g. |
|
|
|
|
|
||
sin2 |
|
|
|
|
|
12.Найти общий вид дробно-линейного преобразования, переводящего верхнюю полуплоскость на себя.
Найти интегралы
13. |
R Re z dz, где C дуга окружности jz 1j = 1; |
0 |
||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg(z 1) . |
|
|
|||||||
14. |
C ch2 z dz, где C дуга окружности jz 1j = 1; |
0 |
||||||||
|
arg(z |
|
1) |
|
|
. |
|
|
||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
jz)jR=. a |
|
|
|
|
|
|
|||
15. |
|
ez |
|
dz (для всех действительных a > 0; |
a 6= |
|||||
(z2+1)z |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
jzjR= 23 |
|
sin 2z |
|
dz. |
|
||||
(z2 |
+3)(z |
|
1 )2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 17 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Представить |
â |
алгебраической |
форме |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( 1 i)13 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(p |
|
i)17 217i( cos |
|
+i sin |
|
)35 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
21 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Найти угол между вектоpами z1 = (2p |
|
|
+ 3) i(2 |
||||||||||||||||
2. |
11 |
|||||||||||||||||||
|
p |
|
|
11) + i(p |
|
+ 5). |
|
|
|
|||||||||||
|
11) è z2 = ( 1 3 |
11 |
|
|
||||||||||||||||
3. |
Представить в алгебраической форме p9 |
|
. |
|||||||||||||||||
512 i7 |
||||||||||||||||||||
4. |
Представить в алгебраической и показательной фор- |
|||||||||||||||||||
|
ìå z = |
6 4i |
7+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 5i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти |
дифференцируемую функцию |
f(z), åñëè |
Re f(z) = cos y ex; f(0) = 1.
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства (x + 1)2 + y2 = cy сохраняет сво¼ значение arg f(z).
7.Найти все значения z, для которых функция tg z принимает действительные значения.
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjzj > 1g на область fj!j < 2g так, чтобы
!(2) = i; arg !0(2) = .
Найти образы а) луча fx 1; y = 0g; б) окружности jz 3=2j = 1=2.
9.Конформно отобразить область fx2 + 4y2 > 4; y > 0g с разрезом по отрезку [i; 2i] на область Im ! > 0.
10.Найти образ области f0 < Re z < g при отображении
! = tg z.
11.Конформно отобразить на верхнюю полуплоскость внешность правой ветки гиперболы xa22 yb22 = 1.
p
12. Конформно отобразить область fjzj > 1; jz 2j > 1; Im z > 0g на единичный круг j!j < 1.
Найти интегралы
R
13.jz 1j; dz, ãäå C : jzj = 1; 0 arg z .
C
14. |
R |
sin2 z dz, ãäå C : jzj = 1; 0 arg z . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
ez2 |
3 |
|||
15. |
|
|
|
dz, где C окружность а) jzj = 2; б) jz 2j = 2 . |
|||
C |
|
z(z 1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
jzjR=2 |
|
sin z |
|
|||
|
dz. |
|
|||||
(z 1)2(z2+9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
Представить |
â |
|
|
алгебраической |
форме |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 i)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p |
|
i)21+(1+i)( sin |
|
+i sin |
9 |
)68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
16 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Найти угол между вектоpами z1 = (7p |
|
5) i(4 p |
|
|
||||||||||||||||||||||
2. |
3 |
3) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 8) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
z2 = (4 3 17) + i(11 |
|
|
p5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
3. |
Представить в алгебраической форме |
32 i5 |
|||||||||||||||||||||||||
4. |
Представить в алгебраической и показательной фор- |
||||||||||||||||||||||||||
|
ìå z = |
34 5ii |
3 i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(z), åñëè |
||||||||||
5. |
Найти |
дифференцируемую функцию |
p
Im f(z) = x + x2 + y2; f(1) = 1 + 2i.
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства er2 cos ' = c сохраняет сво¼ значение jf(z)j.
7.Доказать, что ch(z1 + z2) = ch z1 ch z2 + sh z1 sh z2.
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjz 1j < 1g на область fj!j < 2g так, чтобы
!(1=2) = i; arg !0(1=2) = .
Найти образы а) горизонтального диаметра; б) окружности jz + 1=4j = 3=4.
9. Конформно отобразить область f2x2 2y2 > 1; y > 0; x < 0g на область j!j < 1.
10.Найти образ области f0 < Re z < =4g при отображении ! = tg z.
11.Конформно отобразить полосу f 2 < Im z < 2g с разрезами по лучам fIm z = 1; Re z < 0g на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.
12.Конформно отобразить область fjzj < 1; jz 5=4j < 3=4; Im z < 0g на внешность единичного круга j!j > 1.
|
Найти интегралы |
|
||||||||
13. |
R |
|
2 è z3 |
= 1 через точку z2 = i. |
|
|||||
|
|
Im z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 |
= |
|||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
R |
|
sin2 z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 = |
|||||||
|
|
2 è z3 = 1 через точку z2 = i. |
|
|||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
z+1 |
|
|
|
|
|
15. |
|
|
|
|
|
dz, где C окружность а) jzj = 3; б) jz |
||||
C |
j |
|
(z2+4)(z 1) |
|||||||
|
1 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
16. |
jzjR= 23 |
|
z+1 |
|
|
|
|
|||
(z2 |
+3)(z |
|
1)2 dz. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 19 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Представить |
â |
алгебраической |
форме |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
( 1+i)21 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(p |
|
i)13+i( sin |
5 |
i cos |
7 |
)20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Найти угол между вектоpами z1 = (5 2p |
13)+i(p |
|
|
|||||||||||||||||
2. |
13 |
||||||||||||||||||||
|
7) è z2 = (12 3p |
13) + i( 2 p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
13). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
Представить в алгебраической форме p4 |
|
. |
||||||||||||||||||
256 i3 |
|||||||||||||||||||||
4. |
Представить в алгебраической и показательной фор- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
5i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3+i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ìå z = 1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(z), åñëè |
||||||||||
5. |
Найти дифференцируемую функцию |
||||||||||||||||||||
|
arg f(z) = ' ln r; f(1) = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства x2 y2 + 2x = c сохраняет сво¼ значение Re f(z).
7.Найти все z, для которых функция tg z принимает чисто мнимые значения.
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую область fjz ij < 1g на область fj!j < 2g так, чтобы
!(i=2) = 1; arg !0(i=2) = 0.
Найти образы а) вертикального диаметра; б) окружности jz 5=4ij = 3=4.
9.Конформно отобразить область fx2=9 y2=16 > 1; x < 0g с разрезом по отрезку [ 5; 3] на нижнюю полуплоскость.
10.Найти образ области f =4 < Re z < =4g при отображении ! = tg z.
11. Конформно отобразить область f 2 < Im z < 2; Re z > 0g с разрезами по лучу fIm z = 0; Re z > 1g и отрезкам fIm z = 1; 0 < Re z < 1g на верхнюю полуплоскость fIm ! > 0g.
12.Отобразить круг jzj < 1 на себя так, чтобы заданные точки z1; z2 внутри круга перешли в точки a (0 < a < 1). Найти a.
Найти интегралы
R3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
13. |
z; dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 |
= 0 è |
|||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= 2 через точку z = 1 + i. |
|
|
|||
14. |
sin2 z dz, где C ломаная, соединяющая точки z1 = |
||||||
R |
|
|
3 = 2 |
|
z2 = 1 + i |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
0 è z |
|
через точку |
|
. |
|
Re2z
15.(z+2)(z 1) dz, где C окружность а) jzj = 3; б) jz +
C
2j = 2.
16. |
jzjR=2 |
sin z |
|
|
dz. |
||
(z+1)2(z+4) |
Вариант 20
1. |
Представить |
â |
|
|
|
|
|
|
|
алгебраической |
форме |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( p |
|
i)17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
15 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(1 i) |
+(1+i)(sin 5 i sin |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
Найти угол между вектоpами |
|
p |
|
|
|
p |
|
|
è |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
z1 = (1 5 3) + i(3 3 + 1) |
|
||||||||
|
z2 = (14 4 |
|
3) i(8 + 6 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
Представить в алгебраической форме p243 i5. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
форме z |
= |
||
4. |
Представить |
в алгебраической |
и показательной |
|||||||||||||||||||||||||
|
3+5i |
2i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1+4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти |
|
дифференцируемую функцию f(z), если |
arg f(z) |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
r2 cos 2'; f(1) = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
Найти все дифференцируеìûå ôóнкции, у которых вдоль лю- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
бой линии семейства x + px2 + y2 = c сохраняет сво¼ значение |
jf(z)j.
7.Решить уравнение sin z = i sh z.
8.Найти функцию !(z), конформно отображающую полуплос-
кость fIm z > 0g на полуплоскость fIm !+Re ! > 0g так, чтобы
!(2i) = 1 + i; arg !0(2i) = 0.
Найти образы а) луча x = 0; y 0; б) окружности jz ij = 1.
9.Конформно отобразить область fx2=9 y2=16 > 1; x < 0g с разрезом по лучу ( 1; 5] на единичный круг.
10. Найти образ области f0 < Im z < g при отображении ! = cth z.
11.Конформно отобразить плоскость с разрезами, показанными на рисунке, на верхнюю полуплоскость.
12.Отобразить круг jzj < 1 на себя так, чтобы отрезок действительной оси: y = 0; 0 x a (a < 1) перешел в отрезок
действительной оси, симметричный относительно начала координат. Найти длину преобразованного отрезка.
Найти интегралы
R |
z dz, где C : jzj = 1; Im z > 0, начальная точка z = 1. |
||||||
13. |
|||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
14. |
z |
2 |
|
|
|
||
|
z+1 dz, где C : jzj = 1; Im z > 0, начальная точка z = 1. |
||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
ez2 |
||
15. |
|
|
|
|
dz, где C окружность а) jzj = 3; б) jz + 1 ij = 2. |
||
(z |
|
2)(z+1) |
|||||
C |
|
|
|
|
|
|
Rz4+1
16.z3(z2+1) dz,
jzj= 12