Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

tfkp-operations

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

452.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Пример 84. Решить д.у. x¢¢ - 2x¢ - 3y = e3t при условиях x(0) = x¢(0) = 0

Решение. Переходим к уравнениям изображениях

( ) -

¢(

) -

( )

= 1

px 0

2(pX

x 0 )

p - 3

или p2 X - 2 pX - 3X =

, X (p) =

p - 3

(p +1)(p - 3)2

разложим дробь на простейшие

, 1 = A(p + 1) + B(p - 3)(p +1) + C(p - 3)

(p + 1)(p - 3)2

(p - 3)2

(p - 3)

p + 1

При p= -1 имеем 1=16C , т.е С =

При p=3 имеем 1=4A , т.е A =

Сравнивая коэффициенты при p2 : B+C=0 , B= –

Итак X (p) =

te3t

e3t +

e−t

→

4(p - 3)2

16(p - 3)

16(p +1)

x(t) =

æ t

Решение д.у.

e−t + ç

÷e3t .

16ø

Решить задачу Коши:

85.

x¢ + x = et ,

x(0) = 0.

Ответ: x = sht

86. x′ − 2x = 0 , x(0) = 1.

Ответ: x = e2t

87. x¢¢ + x¢ - 2x = et

, x(0) = -1,

x¢(0) = 0.

Ответ: x =

tet -

et -

e−2t

88. x′′ + x′ = t cost

, x(0) = 0, x¢(0) = 0.

Ответ: x =

(t 2

sint + t cost - sint)

89. x¢¢ - 2αx¢ + (α 2

+ β 2 )x = 0 , x(0) = 0, x¢(0) = 1.

Ответ: x =

eαt sin βt

90. x′′′ + 4x = cos3t , x(0) = x¢(0) = 2 .

Ответ: x =

cos2t

cos3t + sin2t

91. x′′′ − 6x′′ − 11x − 6x = 0, x(0) = 0,

x¢(0) = 1,

x¢¢(0) = 0

Ответ: x = - 52 et + 4e2t - 23 e3t

92. x¢¢¢ + x¢ = e2t , x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 .

Ответ: x = - 12 + 101 e2t + 25 cost - 15 sint

93. 4x¢¢¢ - 8x¢¢ - x¢ - 3x = -8et , x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 1.

Ответ: x = et

94. x(4) + x¢¢¢ = cost , x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 , x¢¢¢(0) = 2 .

Ответ: x = t 2 - t + 1- 23 e−t + 21 cost - 12 sin t

95. x(4) + 4x = t 2 , x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = x¢¢¢(0) = 0

Ответ: x = 41 (t 2 - sht ×sin t)

96. x(5) + 2x¢¢¢ + x¢ = 2t + cost , x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = x¢¢¢(0) = x(4) (0) = 0

æ		3	ö	æ	3		1		ö
Ответ: x = t 2 - 4 + ç4	-		t÷ cost + ç			+ t -		t2	÷ sint
		8			8		8
è			ø	è					ø

8. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений

Метод интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений сходен с методом интегрирования одного уравнения. В результате применения преобразования Лапласа получается система алгебраических уравнений для изображений.

ìx¢ - αx - βy = βeαt

Пример 97. Решить систему д.у. í

îy¢ + βx - αy = 0

При начальных условиях x(0) = 0, y(0) = 1.

Решение. Переход к уравнениям в изображениях X ® x(t) , Y ® y(t) дает

ïpX - αX - βY =

p - α

+ βX - αY = 1

îpY

(p - α)2 - β 2

решение имеет вид X =

2β

, Y

(p - α)2 + β 2

(p - α) (p - α)2 + β

)

(

X =

2β

® x(t) = 2eαt

sin βt , Y =

2(p - α)

® y(t) = 2eαt cosβt - eαt .

(p - α)2 + β

(p - α)2 + β 2

p - α

ìx¢ = x + 2y

Пример 98. Решить систему д.у. í

îy¢ = 2x + y +1

при начальных условиях x(0) = 0, y(0) = 5.

Решение. Переходя к изображениям, получаем

ìpX = X + 2Y

ïpY

- 5 = 2 X + Y

её решение

X =

10p + 2

, Y =

5p2 - 4 p - 1

p(p + 1)(p - 3)

Разложим на простейшие дроби

X =

10p + 2

, A(p2 - 2 p - 3) + B(p

2 - 3p) + C(p2 + p) = 10p + 2

p(p + 1)(p - 3)

p + 1

p - 3

p2 : A + B + C = 0

A = -

p:-2 A - 3B + C = 10ý,

- 3A - 4B = 10ý ,

B = -2

1:-3A = 2

C = - A - B

C =

X = -

® x(t) = -

- 2e−t +

e3t

p +

3( p - 3)

3 p

Аналогично найдем y(t) =

+ 2e−t

e3t .

Найти решение следующих систем дифференциальных уравнений

99.

ìx'= 2y

x(0) = 2, y(0) = 2 .

îy'= 2x

Ответ: x =

2t -

e−2t ,

y =

e2t

e−2t .

100.

ìx'= 3x + 4y

x(0) = y(0) = 1.

îy'= 4x - 3y

Ответ:

x =

5t -

e−5t ,

y =

e5t

e−5t .

101.

x'+y = 0

x(0) = y(0) = 1.

= 0

îy'-2x - 2y

Ответ:

x = et (cost - 2sint) ,

y = et

(cost + 3sint)

102. íx'+2x + 2y = 10e

x(0) = 1, y(0) = 3

y'-2x + y = 7e2t

Ответ:

x = e2t ,

y = 3e2t .

103.

ì 2x'+y'-3x = 0

x(0) = −1, x'(0) = 1, y(0) = 0

îx''+y'-2y = e2t

ìx'

104. íy'

ïî z'

	Ответ: x = -	1		et +		1		e2t -		3		e		t				23		t +		11		e		t					23		t
		1				1				3				2	cos			23				11				2		sin			23
		2			4				4					2		2													2
																					4	23
																					4	23
													t												t
	y = -	1	et -			1	e2t +		5		e		t				23		t -		73		e		t					23		t
		1				1			5				2		cos		23				73				2		sin			23
													2		cos										2		sin
= y - z		2			8				8							2					8	23							2
= y - z
= x + y	x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3
= x + z

Ответ: x = 2 - et , y = -2 + 4et - tet , z = -2 + 5et - tet .

9. Применение интеграла Дюамеля к интегрированию дифференциальных уравнений

Интеграл Дюамеля (формула 18 пункта 5.7) может быть использован при интегрировании дифференциальных уравнений.

Выведем формулу для интеграла Дюамеля. Пусть F( p) → f (t),G( p) → g(t) .

По теореме умножения изображений (формула (17) пункта 5.6) имеем:
F( p) *G( p) ® òt	f (θ)g(t -θ)dθ	(30)
0

По теореме о дифференцировании оригинала (правой части (30)) по формуле пункта 5.10:

pF( p)G( p) ®

òt

f (θ)g(t - θ)dθ

По правилу дифференцирования интеграла по параметру

b(t )

dϕ

ϕ(θ,t)dθ = ϕ(b(t),t)

- ϕ(a(t),t)

+ ò

(θ,t)dθ

(31)

a(t )

получим

pF( p)G( p) ® f (t)g(0) + òt

f (θ)gt '(t -θ)dθ

(32)

Правую часть этой формулы называют интегралом Дюамеля. В силу равноправности функций f и g ее можно записать и так

pF( p)G( p) ® g(t) f (0) + òt	g(θ) ft '(t -θ)dθ	(33)
0
Применим интеграл Дюамеля к интегрированию дифференциальных уравнений. Пусть

требуется найти решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

			x(n) + a1x(n−1) +...+an−1 x'+an x = f (t) ,				(34)
удовлетворяющее нулевым (для простоты) начальным условиям
				x(0) = x'(0) =...= x(n−1) (0) = 0			(35)
							(35)
Наряду с этим уравнением будем рассматривать дифференциальное							уравнение с такой же
левой частью, но правой частью, равной 1(метод толчков):
				z(n) + a1z(n−1) +...+an−1z'+an z = 1			(36)
и будем искать его решение, также удовлетворяющее нулевым начальным данным
				z(0) = z'(0) =...= z(n−1) (0) = 0			(37)
							(37)
Эти дифференциальные уравнения переходят в уравнение в изображениях
pn X + a	1	pn−1 X +...+a	n−1	pX + a	n	X = F( p)
	1		n−1		n

pn Z + a

pn−1Z+...+a

n−1

pZ + a

Z =

Их операторные решения

F( p)

X ( p) =

, Z( p) =

(38)

Q ( p)

pQ ( p)

где Q ( p) = pn + a

pn−1 +...+a

Из них выражаем X ( p) = pF( p) * Z( p) . Используя формулу (32)

X ( p) = pF( p)Z( p) → x(t) = f (t)Z(0) + òt

f (θ)Zt '(t − θ)dθ

(39)

Если известно решение z(t) уравнения (36)

то по (39)

мы получим решение x(t) в виде

квадратур.

Пример 105. Найти решение д.у. x''+x = 5t 2 при начальных условиях x(0) = x'(0) = 0

Решение. Сначала найдем решение z''+z = 1,

удовлетворяющее условиям z(0) = z'(0) = 0. Его

уравнение в изображениях

p2 Z + Z =

дает

Z( p) =

−

. Следовательно,

p( p2 + 1)

p2 + 1

z(t) = 1− cost .

Для отыскания решения исходного уравнения применим формулу (39).

Имеем z'(t) = sint, f (t) = 5t 2 , так что x(t) = òt	5θ 2 sin(t − θ)dθ = 5(t 2 − 2 + 2 cost) .
0

Замечание. Особенно удобно применять интеграл Дюамеля для интегрирования нескольких дифференциальных уравнений с одинаковыми левыми и различными правыми частями. В этом случае интеграл Дюамеля значительно сокращает объем вычислительной работы.

Пример 106. Решить д.у. x'' − x =

c начальными условиями x(0) = x' (0) = 0 .

1+ et

Решение.

Сначала

решим

задачу

Коши

для

дифференциального

уравнения

z(0) = z' = 0 .

Его

уравнение

изображениях

p2 Z( p) − Z( p) =

, имеет

Z( p) =

−

. Отсюда z(t) = cht

− 1.

по формуле Дюамеля (32)

p( p2

− 1)

p2 − 1

et −Θ − e−t +Θ

e−Θ dΘ

e−t

d(eΘ + 1)

x(t) = ò

sh(t − Θ)dΘ = ò

dΘ =

−

+ e

2(1+ e

)

1+ e

+ 1

e−t

et + 1

e−Θd(e−Θ )

e−t

et + 1

t d(e−Θ + 1)

−

= −

−

(e−t −

1) +

−Θ

+ 1

−Θ

+ 1

= −

e−t

et + 1

−

(et −

1) +

e−Θ

+ 1

= sht ln

et + 1

(et − tet − 1).

Применив интеграл Дюамеля, решить дифференциальные уравнения

107.

x'' + x'

= t,

x(0) = x' (0) = 0

Ответ:

x =

t 2 − t + 1− e−t

x''' + x'

= et ,

x(0) = x' (0) = x'' (0) = 0

108.

Ответ:

x =

et −

sint +

cost − 1

109. x'' − 2x'

= t2 et ,

x(0) = x' (0) = 0

Ответ:

x = 1+ e2t

− 2et

− t 2et .

z'' − z = 1,

решение

110. x'' + 2x' + 2x = 1

Ответ:	x =
		5
111. x'' = arctgt,
Ответ:	x =	1
		2

sint, x(0) = x' (0) = 0. sint(1+ e−t ) - 25 (1- e−t )cost.

x(0) = x' (0) = 0

(t 2 - 1)arctgt - 2t ln(1+ t 2 ) + 2t .

112.	x'' + x =		1		,
		2	+ cost

Ответ:		x = tsint -
113.	x'' + x =		1			,
		4	+ tg2	t

Ответ:

x(0) = x' (0) = 0

43 sint arctg tg32 + cost ln(2 + cost) - ln3 cost.

x(0) = x' (0) = 0

	1			9 - π			3					3		3	sint -	2			3
	1			9 - π			3					3		3	sint -	2			3
x =			-					cost +					sint ln				-			cost arctg( 3 cost)
		3			27						36				sint +	2		9
		3			27						36			3	sint +	2		9
114.	x′′ + x = cost,								x(0) = x′(0) = 0
Ответ:						x =		1	(sint - cost + e−t )
Ответ:						x =		2	(sint - cost + e−t )
								2
115.	x¢¢ + x =				1					,			x(0) = x′(0) = 0
115.	x¢¢ + x =					1+ cos2t				,			x(0) = x′(0) = 0

Ответ:

x = cost arcth(cost) - 4 cost

sint ln

116. x′′ − x = sht,

x(0) = x′(0) = 0

Ответ:

x =

(t cht

- sh t)

117. x′′ − 2x′ + x = cht,

x(0) = x′(0) = 0

Ответ:

x =

t 2 et +

t sht +

t e−t -

sht.

118. x¢¢¢ + x¢ =

x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0

2 + sint

sint - 2

sin t + 2

2 tg

+ 1

Ответ:

x = ln 2 cost - cost ln(2 + sint) - t sint + 3

(2sin t + 1)çarctg

- 6

119. x′′ − x = tht,

x(0) = x′(0) = 0

Ответ:	æ	π ö
Ответ:	x = cht - sht + 2chtçarctg et -	÷
	è	4 ø

10. Интегрирование дифференциальных уравнений с переменными (функциональными) коэффициентами

Пример 120. Решить д.у. Бесселя t x′′ + x′ + tx = 0 с начальными условиями x(0) = 1,

x′(0) = 0.

Решение. Перейдем к изображениям

x(t) ← X ( p),

x′ ← pX − 1,

x′′ ← p2 X - p. Для

нахождения

изображений tx и tx′′ воспользуемся формулой дифференцирования изображений

F ′( p) ч> − tf ( p).

tx ← -

(формула

(23)

пункта

5.11)

Тогда

= - X ¢ ,

tx′′ ← -

(p2 X - p) = -2 pX - p2 X ¢ + 1

Тогда уравнение в изображениях

− 2 pX − p2 X ′ +1+ pX −1− X ′ = 0 или

(p2 + 1)X ¢ + pX = 0.

Уравнение с разделяющимися переменными

p dp

- ln X =

(p2

+ 1) - ln C,

+ 1

p2 + 1

X ( p) =

p2 + 1

Выберем ветвь корня, для которой

= 1.

ö −

×3

1×3×5

X ( p) =

ç1

ç1-

+K÷ =

p è

×2! p

×3! p

×3

1× 3×5

Cç

+K÷

¸ñ x(t) =

2 ×1!

×2!

è p

2 × 3!

1 × t

12 ×3 × t

- 1×33×5 × t

C = 1

= Cç1-

+K÷ =

т.к. x(0) = 1

2 ×1! 2!

×2!

×3! 6!

∞

(-1)

= 1-

+K= å

= I0 (t)

(2!)

(3!)

(1!)

n=0

(n!)

— так называемая функция Бесселя нулевого порядка.

11. О функциях с запаздывающим аргументом и их изображениях

Как уже было сказано в пункте 2, единичная функция Хевисайда η(t) может превратить в оригинал любую функцию f(t), ’’ выключая’’ ее значения при t<0 и сохраняя при t>0:

ì 0,t < 0 f (t)η(t) = íî f (t),t > 0

Имеется большое количество функций f(t– τ ) ,которые описывают процессы ,начинающиеся не в t=0 , а с опозданием τ >0. С помощью функции Хевисайда

η(t - τ ) =		ì0,t < τ
		í	> τ
запаздывающую функцию записывают так		î1,t
	ì 0,t < τ
f (t - τ)η(t - τ ) =				(40)
	í		> τ
	î f (t - τ ),t

заметим, что множитель способен ’’включать’’ или ’’гасить’’ значения некоторых функций. Эта функция удобна для записи как периодических, так и других составных функций.

По теореме запаздывания (пункт.5.3) изображения этих оригиналов (40) выражаются формулой

f (t - τ )η(t -	τ ) ¬ e− pτ F( p),где
F( p) ® f (t)	(41)

Пример 121.Найти изображение периодического с периодом Т прямоугольного импульса f(t) величины А и продолжительностью τ .

τ T T + τ 2T 2T + τ t

Решение. Постоянная функция f(t) =А должна быть ’’ погашена’’, начиная с момента τ . Это

можно записать как

ìA,0 < t < t f (t) = A - A× h(t - t) = í

î0, t < t < T

Далее с момента

t = T опять ’’включаем’’ функцию

f (t) = A

и ’’гасим’’ ее в момент T + τ. В

этом случае следует записать как

f (t) = A − Aη(t − τ ) + Aη(t − T − τ) и т. д. Окончательно

f (t) = A − Aη(t − τ) + Aη(t − T) − Aη(t − T − τ ) + Aη(t − 2T) − Aη(t − 2T − τ )+K

Изображение

- pt

- pT

- p(T +t)

- p2T

- p(2T +t)

F( p) =

) +

) -

) +

) - p(e

) + K=

(1 - e- pt )[1 + e- pT

+ e-2 pT

+ K]

Так как

e− pT

e−(s+iw)T

= e− ST

< 1,

то,

суммируя геометрическую прогрессию в квадратных

скобках со знаменателями e− pT

= q , получим F( p) =

1- e- pt

. Этот же результат можно было

1- e- pT

бы получить по формулам (20), (21).

Пример 122. Построить график функции f (t) = (t 2 - 6t + 11)η(t - 2) и найти ее изображение. Решение. Функция f (t) описывает некоторый процесс, ’’включаемый’’ с запаздыванием τ = 2

. Для того чтобы решить , какой это процесс , нужно функцию представить в форме

f (t) = ϕ(t − 2)η(t − 2),

f (t) = (t 2 - 6t +11)η(t - 2) = [(t - 2)2 - 2(t - 2) + 3]η(t - 2),

f (t) = ϕ(t - 2)η(t - 2) ¬ ( p23 - p22 + 3p)e−2 p .

Пример 123. Найти изображение составной функции f (t) , предварительно записав ее с помощью функции Хевисайда одним аналитическим выражением.

Функция имеет вид и график.

		ì			0,t		< 0
		ï		3,0 £ t £ 4
		ï		3,0 £ t £ 4
3			f (t) = í	-	3	t,4 £ t £ 6
3			f (t) = í		3
		ï9
		ï9			2
		ï			2
		ï			0,t		> 6
		î			0,t		> 6
			t
0	4	6

Решение. Функция f (t) = 0 при t < 0. В момент t = 0 ’’ включается’’ функция ,равная 3. В

момент F = 4 она ’’гасится’’ и ’’ включается’’ функция 9 - 23 t .

В момент τ = 6 ’’ гасится’’ эта функция .Эту последовательность действий можно описать

формулой

f (t) = 3η(t) - 3η(t - 4) + (9 -

t)η(t - 4) - (9 -

t)η(t - 6) =

= 3η(t) + (6 -

t)η(t - 4) - (9 -

t)η(t - 6).

Надо организовать сдвиги аргумента t

в множителях при функциях Хевисайда: во втором

слагаемом надо сделать t − 4 , а в третьем t − 6 :

f (t) = 3η(t) +

ê6

(t -

4) - 6úη(t

- 4) - ê9 -

(t - 6) - 9úη(t - 6)

= 3η(t) -

(t - 4) +

(t - 6)η(t - 6).

Изображение F( p) =

e−4 p +

e−6 p .

2 p2

В следующих задачах, записав с помощью функции Хевисайда одним аналитическим выражением составную функцию f (t), найти ее изображение:

	ì	t,	0 £ t £1
124.	ï	1,	1£ t £ 3
	f (t) = í
	ï	0, t > 3
	î
		ì	2t	при	0 £ t £1
125.		ï	- 2t	при	1£ t £ 2
	f (t) = í4
		ï	0	при	t ³ 2
		î

ì	5	при	0 £ t £ 2
ï	- 2t	при	2 £ t £ 3
126. f (t) = í5
ï	6 - 2t		при	t > 3
î

Ответ: F( p) =	1			(1- e− p ) -	1	e−3p .
	p2
					p
Ответ: F( p) =	2			(1 - 2 e− p + e−2 p)
	p2

Ответ: F( p) =	1		(5 - 4e−2 p + e−3p ) -				2	e−2 p
		p					p2

Построить график функции f(t) и найти её изображение

127.

f (t) = t − (t − 3)η(t − 1)

Ответ:

ì t , 0 £ t £1

F( p) =

(1 - e

− p

) +

− p

f (t) = í

t >1

î 3 ,

0 £ t £ 2

127.

f (t) = ï5 - 2t

2 £ t £ 3

F( p) =

(5 - 4e−2 p + e−3p ) -

e−2 p

- 2t ,

t > 3

î6

128.

f (t) =1 + e−t η(t -1)

− p

ì 1

0 £ t £1

Ответ:

f (t) = í

+ e−t , t >1

F( p) =

î1

p e p +1

129.

f (t) = sin t[η(t - 2π ) -η(t - 3π )]

ì 0

t £ 2p

Ответ:

f (t) = ïsin t,

2p £ t £ 3p

F( p) =

(e−2 pπ + e−3pπ )

p2 + 1

t ³ 3p

130. f (t) = 2ê1 -η(t

)

-η(t -

)ú

+ êη(t -

) -η(t -

)ú sin

2πt

0 £ t <

Ответ:

2πt,

f (t) = ísin

£ t

t >

ï - 2

(1 - e−

- e−

p ) +

(e−

- e−

F( p) =

2 )

+ 4p2

131.

f (t) =1 - t - (

2 - 5t + 4)η(t -1) + (

2 - 3t)η(t - 3)

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.201950.86 Кб1Tests_Orlova.docx
#
27.03.201529.48 Кб90Testy_dlya_samoproverki.docx
#
26.08.2019131.07 Кб1Texnika_rechi.doc
#
27.03.201570.14 Кб13Texts.doc
#
27.09.2019104.45 Кб0texty_novye.doc
#
27.03.2015452.49 Кб20tfkp-operations.pdf
#
27.03.2015433.05 Кб185TFKP.docx
#
25.09.2019282.11 Кб3tgip-metod.doc
#
25.09.2019112.64 Кб1tgip-program.doc
#
15.11.2019299.52 Кб2tgp-dnev-bakalavr-rp-igpzs.doc
#
09.11.201942.89 Кб1tgp-dnev-bakalavr-sfo-umk-tgp.docx