Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

tfkp-operations

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

452.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>


51.	F ( p) =		6 p3	+ 4 p + 1					.
51.	F ( p) =		p4 + p2						.
			p4 + p2
52.	F ( p) =		5p3	+ 3p2 + 12 p − 12							.
52.	F ( p) =				p4 − 16						.
					p4 − 16
53. F ( p) =			3p2	− 1				.
53. F ( p) =		( p2 + 1)3						.
		( p2 + 1)3
54.	F ( p) =		3 − 2 p3
						.
						.
			p4
55.	F ( p) =		4 − p				.
55.	F ( p) =						.
			( p − 2)3
56.	F ( p) =		p + 2		.
56.	F ( p) =				.
			p3 − 1
57.	F ( p) =		5p3	+ 5p2 − 11p + 3						.
57.	F ( p) =			p3( p + 3)						.
				p3( p + 3)

Ответ: f (t ) = 4 + t + 2 cos t − sin t

Ответ:

f (t ) = ch2t

+ cos 2t +

sin 2t.

Ответ:

f (t ) =

t 2 sin t.

Ответ:

f (t ) =

t 3

− 2t.

Ответ:

f (t ) = (t2 − t)e 2t .

−

Ответ:

f (t ) =. e

2 ç3 cos

t +

3 sin

t÷

Ответ: f (t ) = 2e− 3t + 12 (t2 − 8t + 6).

4.Таблица свойств изображений

В данном пункте приведена таблица свойств изображений, каждый раздел которой будет объяснён в следующем пункте.

Пусть F(p):→f(t) , G(p):→g(t)

№

Оригинал

Изображение

Комментарии

α f (t) + βg(t) , α, β = const

αF(p)+βG(p)

Свойство

линейности

п. 5.1

f (α×t), α = const > 0

F (p )

Теорема подобия

п. 5.2.

f (t -τ ) , t >τ > 0

e− pτ × F( p)

Теорема

запаздывания

п. 5.3.

e−λt×f (t) , λ > 0

F(p+λ)

Теорема

смещения

п. 5.4.

f (t + a) , a > 0

− pt

Теорема

ap ç

×f (t)dt

упреждения

ç F( p) - òe

п. 5.5.

F(p)G(p)

Теорема об

ò f (τ )g(t -τ )dτ = ò f (t -τ )g(τ )dτ

умножении

изображений

№

Оригинал

Изображение

Комментарии

п. 5.6.

pF(p)G(p)

Интеграл

f (t) × g(0) - ò f (t -τ )g"(τ )dτ

Дюамеля

п. 5.7.

f(t)g(t)

a+i¥

Умножение

ò F(q)G( p - q)dq

оригиналов

2π i

a-i¥

п. 5.8.

f(t)=f(t+T) , T - период

Изображение

ò f (t) e- pt dt

периодического

1 - e

- pt

оригинала

п. 5.9.

10.

f (n) (t)

n æ

f (0)

f (n−1) (0) ö

Дифференцирован

ç F( p) -

-L-

ие оригинала

п. 5.10.

11.

(-1)n t n f (t)

F (n) ( p)

Дифференцирован

ие изображения

п. 5.11.

12.

F( p)

Интегрирование

ò f (τ )dτ

оригинала

п. 5.12.

13.

Интегрирование

f (t)

ò F( p)dp

изображения

п. 5.13

5. Основные теоремы операционного исчисления

Пусть F(p):→f(t) , G(p):→g(t)

5.1. Свойство линейности.
Для любых комплексных постоянных α и β :
αF( p) + βG( p)				:® αf (t) + βg(t)		(12)
5.2. Теорема подобия.
Для любого постоянного α > 0:
f (αt) ¬:	1		æ	p ö		(13)
		Fç			÷
	a
			è a ø

Умножение аргумента оригинала на положительное число α приводит к делению изображения и его аргумента на это число α .

5.3. Теорема запаздывания.
e− pτ :® f (t -τ ) для t > τ > 0	(14)

Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину τ приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на e- pτ .

Пример 58. Найти изображение оригинала f (t) = e− pt .

Решение: Имеем по таблице пункта 2: t2 ¬:

	2	× e− p .
	p3	× e− p .
	p3

5.4. Теорема смещения.

Для a >0 имеет место соотношение :

e−at× f (t) ¬: F(p+a)

	2	, здесь запаздывание τ =1. Тогда (t -1)2 ¬:
	p3	, здесь запаздывание τ =1. Тогда (t -1)2 ¬:
	p3

(15)

Пример 59. Найти изображение затухающих колебаний: e−α tsinϖt

и e−α t cosϖt , α >0.

Решение: cosϖt ¬:

sinϖt ¬:

p2 +ϖ 2

Тогда e−α t sinϖt ¬:

e−α t cosϖt ¬:

p + α

(p + α )2 +ϖ 2

Смотри формулы 10 и 11 в таблице пункта 2.

Пример 60. Найти изображение оригинала f(t)= ch t × sin t .

Решение: Так как ch t =

(et + e

−t ) , то

f (t) =

(et + e

−t )sin t =

sin t +

e−t sin t ¬:

p2 + 2

¬:

( p - 1)2

+ 1

( p + 1)2

+1 p4 + 4

Заметим, что формула (15) позволяет найти оригиналы по заданному изображению.

Пример 61. Найти оригинал по его изображению F( p) =

+ 2 p

Решение: F( p) =

.По формуле 7 таблицы пункта 2 известно, что

p2 +2 p

( p +1)2 -1

:®shϖt

. Тогда

:® e−tsh t .

p2 -ϖ 2

( p + 1)2

-1

Пример 62. Найти оригинал по его изображению F( p) =

3p -1

- 4p + 7

Решение: ”Организуем” смещение аргумента p так, чтобы слагаемые превратились в известные выражения:

	3p -1	=		3( p - 2) + 5				= 3	×		p - 2			+	5		×		3			:®
										( p - 2)2 + (			)2
	p2 - 4 p + 7			( p - 2)2 + 3														( p - 2)2 + (			)2
																3
												3
												3								3
:® 3e2t cos(t					)+	5	e2t sin(t				) .
			3			5				3
			3							3
			3

5.5. Теорема упреждения.

При а > 0	имеет место соотношение:
	æ	a	− pt	ö
f(t+a) ¬: e	ap ç		− pt	÷	(16)
f(t+a) ¬: e	ç F( p) - òe			× f (t)dt ÷	(16)
	è	0		ø
5.6.Теорема умножения изображений.
t		t
ò f (θ )g(t -θ )dθ =ò f (t -θ )g(θ )dθ ¬; F( p) × G( p)					(17)
0		0

Оригинал, соответствующий произведению двух изображений, равен свёртке (левая часть (17) ) оригиналов сомножителей.

Пример 63. Найти оригинал по его изображению F( p) =

(p2 +ϖ 2 )2

Решение: F( p) =

. Известно, что

:®

(p2 +ϖ 2 )2

p2 +ϖ 2

sinϖ (t - θ )dθ =

:®

× sinϖt .По формуле (17)

:®

sinϖθ ×

(p2 +ϖ 2 )2

× ò(cosϖ (2θ - t)- cosϖt)dθ =

× (sinϖt -ϖt× cosϖt).

2ϖ

2ϖ 3

Пример 64. Найти оригинал по его изображению F( p) =

(p2 +ϖ 2 )2

Решение: Представим F( p) =

:®

. Так как

p2 +ϖ 2

× sinϖt ,

:®

:® cosϖt ,

то

по

формуле

:®

p2 +ϖ 2

(p2 +ϖ 2 )2

sinϖθ × cosϖ (t -θ )dθ =

:® ò

× t × sinϖt .

2ϖ

Пример 65. Найти оригинал по его изображению

F ( p) =

4 p − 3

(p2 + 2 p + 10)2

Решение. «Организуем» смещение аргумента и применим результаты предыдущих примеров

(63 и 64)

4 p - 3

4( p + 1) - 7

(p2 + 2 p + 10)2

(( p + 1)2 + 9)2

p + 1

4 ×

- 7 ×

(( p + 1)2 + 9)2

4e-t

× sin 3t -

e-t (sin 3t - 3t cos 3t) =

-t ææ 2

= e

çç

t -

÷ sin 3t +

t cos 3t

èè 3

5.7. Интеграл Дюамеля.

pF ( p)G( p) ®

ò f (q)g(t - q)dq =

f (t )g(0) - ò f (q)g¢(t - q)dq (18)

О применении интеграла Дюамеля смотри пункт 9.

5.8. Умножение оригиналов

a+iw

(19)

f (t )g(t ) ¬

lim

F(q)G( p - q)dq

2pi w ® ¥ a-iw

5.9. Изображение периодических оригиналов

Дана периодическая функция

f (t ) = f (t

+ T ),

T − период.

f (t ) = f (t + T ) ¬ F ( p) =

y( p)

(20)

1 - e

- pT

где y( p) =

(21)

ò f (t )e- pt dt.

Пример 66. Найти изображение периодического оригинала

f (t )

= A

sin wt

–

выпрямленная

синусоида.

- pt dt

- pt sin wtdt

Решение. Период T =

y( p) =

ò f (t )e

= A ò e

ç1 + e

w ÷ ,

+ w 2

F ( p) =

1 + e

cth

+ w

1 - e

Обратное утверждение. Оригинал f (t ) , изображение которого имеет вид (20), является периодической функцией периода T получающейся при периодическом продолжении функции

ϕ(t ) с интервала [0, T] на всю положительную часть оси t.

Пример 67. Найти оригинал по заданному изображению

- ç

÷ e

F ( p) =

p2ø

1 - e- pT

- pT

æ T

Решение. Здесь y( p) =

- ç

÷ e

2 ®

p 2

è 2

æ T

T ö

t - ç

+ çt -

÷ h(t

)

= t - t × h(t -

)

è 2

2 ø

ït, при 0 < t

= f (t ) = í

при t >

68. Найти оригинал по изображению F ( p)

2 - pT - (2 + pT )e- pT

p3(1 - e- pT )

Ответ:

функция,

получающаяся при периодическом продолжении функции

j(t ) = t 2 - Tt с

интервала

[0, T] на всю положительную часть оси t.

следующих

задачах

найти

изображение периодического оригинала

f (t ) ,

являющегося

периодическим

продолжением функции ϕ(t ) с интервала

[0, T]

на всю

положительную часть оси

A, при 0 £ t £

69.

j(t ) = í

ï- A, при

£ t £ T

2 A

t, при 0 £ t £

70.

j(t ) = í

ï2 A(1 -

), при

£ t £ T

71.

j(t ) = A(1 -

), при 0

£ t £ T

- pT

ответ: F ( p) =

1 - e

1 + e

ответ: F ( p) =

2 A

T ×

ответ: F ( p) =

p(1 - e -

pT )

pT 2

2pt

ïA sin

, при 0 £ t £

72. j(t ) = í

ответ: F ( p) =

, w =

при

£ t £ T

( p2

+ w2 )(1 - e 2 )

5.10. Дифференцирование оригинала

f ′(t ) ← pF( p) − f (0), . . . .

f (n) (t ) ¬ pn F( p) - pn - 1 f (0) - pn - 2 f ¢(0)-. . .- f (n - 1) (0)

(22)

5.11. Дифференцирование изображения

F′( p) → − tf (t ), . . .

F (n) ( p) ® (-1)n t n f (t )

(23)

5.12. Интегрирование оригинала

F( p)

(24)

ò f (q)dq ¬

Таким образом, операции

интегрирования

оригинала соответствует деление на p его

оригинала.

5.13. Интегрирование изображения

f (t )

(25)

ò F(q)dq ¬

Пример 73. Найти изображение функции

f (t )

eat - ebt

Решение. Деление на

t каждого слагаемого функции

f (t ) соответствует интегрированию его

изображения (формула (25)). Имеем e at ¬

ebt

p - a

p - b

¥æ

1 ö

p - a

p - b

Тогда изображение

F ( p) = ò

÷ dp =

= ln

è p - a p

- bø

- b

p - a

6. Вычисление несобственных интегралов с помощью преобразования Лапласа

Пусть нужно вычислить интеграл				b
Пусть нужно вычислить интеграл				ò j( x, t )dt , который является интегралом зависящим
				a
от параметра	x. Обозначим его			b
от параметра	x. Обозначим его		f (x ) = ò j( x, t )dt и пусть		F( p) → f ( x).
				a
	¥	b
Найдем	F( p) = ò e-	px ( ò j( x, t )dt )dx		(26)
	0	a
	0

Изменение порядка интегрирования часто дает возможность довести задачу до конца: найти

изображение F( p) интеграла

f (x) , а затем и сам оригинал

f (x) .

- cos xt

Пример 74. Вычислить

f (x ) =

dt. Его изображение

F ( p) =

ò e-

( ò

dt )dx

1 æ

Изменим порядок интегрирования

F ( p) = ò

( ò e- px (1 - cos tx )dx)dt = ò

÷ dt

2 è p

p2 + t2ø

Здесь использованы

формулы

1 ¬

cos tx ¬

Окончательно

+ t

¥	dt		p		px	¥	1 - cos xt
F ( p) = ò
		=		®		= f (x ) . Итак ò

0 p( p2 + t2)			2 p2		2	0	t2

Аналогично можно вычислить следующие интегралы.

75.	¥ xt - sin xt			dt
	ò					.
		t3
					t
	0				t
76.	¥	cos xt	dt.
	ò
	ò

0 a2 + t2

¥sin xt

77.ò dt. 0 t(t4 + 4)

dt = px . 2

Ответ px 2 4

Ответ p e- ax

Ответ p (1 - e- x × cos x ) 8

(1 + e

- xt

) sin xt

78. ò

dt.

Ответ

¥ e- xt

¥sin xt

Пример 79. Доказать ò

dt =

0 t2 + 1

0 t + 1

Решение.

Найдем изображения

подынтегральных функций по

переменной x и сравним

интегралы от них. Имеем

e-xt

p + t

p - t

I лев =

÷ dt

2 + 1

ç ln( p + t ) -

ln(t

+ 1)

p × arctgt÷

0 p2

+ 1 è t 2 + 1 p + t

æ pp

I лев =

- ln p÷

+ 1 è 2

Во втором случае имеем

sin xt

p 2 + t 2

Iправ

Iправ =

¥		1		æ		p	2	+ t
= ò		1		ç		p		+ t
= ò		2		ç		2 + p2
0	p		+ 1	è t		2 + p2
1			æ pp					ö
			ç		- ln p÷ .
p2			ç		- ln p÷ .
p2	+ 1		è 2					ø

t ÷

÷ dt =

- ln(t

+ 1) +

ln(t

2 + p2 ) +

× arctg

+ 1

p÷

1 + t ø

Видим, что левая часть равна правой, равенство доказано.

¥ te- xt

¥ cos xt

Пример 80. Доказать ò

dt = ò

0 t2 + 1

0 t + 1

Указание. Сравнить изображения интегралов, имеющих вид

F ( p) =

× ln p

p2 + 1

7. Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

x	(n) (t ) + a x (n-1)	(t )+. . .+a	n-1	x¢(t ) + a	n	x(t ) = f (t ) (27)
	1		n-1		n
где a k –действительные числа.

Требуется найти решение дифференциального уравнения (27), удовлетворяющее начальным

условиям

x(0) = x	0	,		x¢(0)			= x¢ , .. . ,	x(n-1) (0)		= x (n-1)			(28)
	0						0			0
где		x	0	, x¢ , .. . , x (n-1)				–заданные числа.
			0		0		0
Будем предполагать, что искомая функция											x(t )		, все ее производные, а также функция f (t )
являются оригиналами. Пусть x(t ) ← X ( p),												f (t ) ← F( p). По формулам дифференцирования
оригиналов (22):							x¢¢(t ) ¬ p2 X - px
x¢(t ) ¬ pX - x					0	,	x¢¢(t ) ¬ p2 X - px		0	- x¢ , . . .
					0				0	0
.. . x(n - 1) (t ) ¬ pn - 1X - pn - 2x0 -.. .-x(n - 2)											,	x	(n) (t ) ¬ pn X - pn - 1x0 -. . .-x (n - 1)
										0			0

Перейдем от дифференциального уравнения (27) к уравнению в изображениях

pn X - pn - 1x0 -. . .-x0(n - 1) + a1(pn - 1X - pn - 2x0 -. . .-x0(n - 2))+. . .+an - 1(pX - x0)+ an X = F

Перепишем его так Qn		( p) X ( p) = F( p) + Rn−1( p) , где				Q ( p) = p n	+ a pn - 1	+. . .+a	p + a	,
						n	1		n - 1.	n
R	( p) = p n-1x +. . .+x	(n - 1)	+ a ( p n - 2x +.. .+x		(n - 2) )+. . .+a		x .
n - 1	0	0	1	0	0	n -	1. 0

Находим так называемое операторное решение уравнения

X ( p) =

F( p) + Rn-1

( p)

(29)

Qn ( p)

Найдя оригинал

x(t ) по его изображению X ( p)

, мы получим тем самым решение задачи

Коши для дифференциального уравнения (27).

Пример 81. Найти решение дифференциального

уравнения

x′′(t ) − 4x′(t ) + 5x(t ) = 0 ,

удовлетворяющее условиям

x(0) = 0,

x¢(0) = 1.

Решение.

Запишем уравнение в изображениях

p2 X - 1 - 4 pX +

5X = 0,

X ( p) =

2 - 4 p + 5

или X ( p) =

® e2t sin t = x(t ) –искомое решение.

( p - 2)

+ 1

Пример 82. Найти решение дифференциального уравнения

x′′′(t ) +

4x′(t ) = 1,

удовлетворяющее условиям

x(0) = x′(0) = x′′(0) =

Решение. Уравнение в изображениях

p3 X + 4 pX =

X ( p) =

или иначе

p2 ( p2 + 4)

X ( p) =

sin 2t. Итак, решение имеет вид x(t ) =

sin 2t.

p2 + 4

4 8

Пример 83. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

x¢¢(t) + 2x¢(t) + 10x(t) = 2e−t cos3t

x(0) = c1 ,

Решение.

Возьмем произвольные начальные условия

x′(0) = c2 .

Уравнение в изображениях p2 x - c p - c + 2 px - 2c

+ 10x = 2

p + 1

+1)2 + 9

p + 1

Найдем x( p) = c1

+ (c1 + c2 )

+ 2

→

(p +1)2

+ 9

(p +1)2 + 9

((p +1)2 + 9)2

c e−t cos3t +

+ c

)e−t

sin3t + 2e−t

sin3t

Ко всем дробям применена теорема смещения (15), дающая множитель e−t , к последней дроби применена теорема умножения изображений (17) (смотри также пример 64).

æ	1		ö
Искомое решение x(t) = e−t çc1 cos3t +		(t + c1	+ c2 )sin3t÷
Искомое решение x(t) = e−t çc1 cos3t +	3	(t + c1	+ c2 )sin3t÷
è	3		ø

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.201950.86 Кб1Tests_Orlova.docx
#
27.03.201529.48 Кб90Testy_dlya_samoproverki.docx
#
26.08.2019131.07 Кб1Texnika_rechi.doc
#
27.03.201570.14 Кб13Texts.doc
#
27.09.2019104.45 Кб0texty_novye.doc
#
27.03.2015452.49 Кб20tfkp-operations.pdf
#
27.03.2015433.05 Кб185TFKP.docx
#
25.09.2019282.11 Кб3tgip-metod.doc
#
25.09.2019112.64 Кб1tgip-program.doc
#
15.11.2019299.52 Кб2tgp-dnev-bakalavr-rp-igpzs.doc
#
09.11.201942.89 Кб1tgp-dnev-bakalavr-sfo-umk-tgp.docx