Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Khomitsky_Metodichka_AnGeometry

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

2.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

вектором

a = 2i + 2j + k .

Найти

составляющую

силы

в направлении вектора a.

что

он

перпендикулярен

векторам

3.16. Найти вектор

x ,

зная,

a = (2,

− 3,

b = (1,

− 2,

и удовлетворяет

условию

(x, (i + 2j − 7k))

= 10.

e1 и e2 , причём | e1

, | e2 |= 2, а

3.17. На плоскости даны два вектора

|= 4

угол между данными

векторами

ϕ = 2π 3. На

плоскости

также

построен треугольник ABC ,

радиус-векторы вершины которого заданы

векторами

OA,

OC .

В базисе {e1,e2} эти векторы имеют

компоненты OA = (− 2,

2),

OB = (− 2,

− 1) и OC = (− 1,

0).

Найти длины диагоналей и углы треугольника

ABC .

4. Векторное и смешанное произведение

Тройка некомпланарных векторов a, b, c , отложенных от общего начала в пространстве, называется правой, если при расположении точки

наблюдения в конце вектора c вращение от конца вектора a к концу вектора b происходит против часовой стрелки (рис.7а), и левой в противном случае

(рис.7б).

Рис.7. Правая (а) и левая (б) тройки базисных векторов

По умолчанию все базисные тройки векторов в нашем курсе имеют правую ориентацию, для определения которой, очевидно, важен порядок следования базисных векторов. С помощью трёх некомпланарных векторов a, b, c можно построить параллелепипед, рёбра которого образуют три данных вектора. Число, равное объёму данного параллелепипеда со знаком «плюс» в случае совпадающей ориентации тройки a, b, c и тройки базисных векторов, называется смешанным произведением векторов a, b, c и

обозначается как (a,b,c). В случае, когда ориентация тройки a, b, c противоположна ориентации базисной тройки, смешанное произведение равно указанному объёму со знаком «минус». При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет знак, а при так называемой циклической перестановке оно не изменяется: (a,b,c) = (c,a,b) = (b,c,a). Смешанное произведение равно нулю, если данные три вектора являются компланарными. Если известны координаты векторов a, b, c в правом ортонормированном базисе {e ,e ,e }, то смешанное произведение можно найти с помощью определителя1третьего2 3 порядка:

(a,b,c) =	a1	a2	a3
(a,b,c) =	b1	b2	b3	.
	c1	c2	c3

Смешанное произведение (a,b,c) можно представить как скалярное произведение двух векторов (d,c), где вектор d называется векторным произведением векторов a и b , которое обозначается как [a,b] и обладает следующими свойствами (рис.8):

1) Вектор [a,b] направлен перпендикулярно плоскости векторов a и b , будучи ориентирован так, что тройка a, b и [a,b] является правой;

2) Модуль [a,b] равен площади параллелограмма, построенного на a и b , т.е. [a,b] =| a || b | sin ϕ , где ϕ есть угол между a и b .

Рис.8. Векторное произведение векторов

Из этих свойств следует, что векторное произведение антикоммутативно, т.е. [a,b] = −[b,a], и равно нулю для случая коллинеарных векторов. Смешанное

произведение не изменяется при замене аргументов в векторном и скалярном произведении с сохранением порядка следования векторов, т.е.

Пример

(a,b,c) = ([a,b],c) = (a,[b,c]). В	правом ортонормированном базисе
{e1,e2 ,e3} векторное произведение может быть найдено через определитель
третьего порядка
e1	e2	e3
[a,b] = a1	a2	a3 .

b1 b2 b3

Аналогично векторному произведению может быть введено двойное векторное произведение трёх векторов a, b, c , обозначаемое как [a,[b,c]]. Это выражение можно раскрыть в любом базисе, в результате чего получается

более удобная его запись в виде

[a,[b,c]] = b(a,c) − c(a,b).

1. Доказать, что для любых векторов a и b выполняется тождество

[a,b]

2 + (a,b)2

=| a |2| b |2 .

Модуль векторного произведения равен | a || b | sinϕ ,

где ϕ есть

Решение.

угол между векторами a и

b , а скалярное произведение равно

| a || b | cosϕ .

Следовательно,

левой

части

стоит

выражение

| a |2| b |2 sin2 ϕ + | a |2| b |2 cos2 ϕ =| a |2| b |2 (sin2 ϕ + cos2 ϕ ),

что

равно | a |2| b |2 , то есть правой части рассматриваемого тождества.

Пример 2. Для некоторых трёх векторов a,

b, c

выполняется равенство

[a,b]+ [b,c]+ [c,a] = 0.

Показать,

что

вектора

являются

компланарными.

Решение.

Применим часто используемый в подобных задачах приём,

заключающийся в скалярном умножении обеих частей векторного равенства на

какой-либо известный вектор, в данном случае, к примеру,

на вектор a:

(a,[a,b]) + (a,[b,c]) + (a,[c,a]) = (a,0) = 0 .

Первое и третье слагаемое в левой части равны, поскольку в них входят по два
совпадающих вектора, дающие нулевой объём построенного на данных тройках
параллелепипедов.	Следовательно,	мы	получили	равенство

(a,[b,c]) = (a,b,c) = 0, что говорит о компланарности векторов a, b, c

Пример 3. Какое множество x векторов удовлетворяет уравнению [x,a] = b , где a и b есть некоторые фиксированные векторы?

Решение. Векторное произведение не изменится, если один из его сомножителей изменять так, чтобы площадь параллелограмма, построенного на векторах x и a, не изменялась, а сам вектор x всё время оставался в одной плоскости P, перпендикулярной b . Если вектор a есть основание параллелограмма, то его высотой будет проекция вектора x на прямую, перпендикулярную a и лежащую в плоскости P. Оставив эту проекцию неизменной, мы видим, что поставленным условиям удовлетворяют все вектора, лежащие в плоскости P на прямой, параллельной вектору a и отстоящей от него на расстоянии | b || a | (рис.9).

Рис.9. Расположение прямой и искомого вектора в примере 3.


Пример 4. Доказать тождество: ([a,b],[c,d]) =			(a,c) (a,d)
			(a,c) (a,d)
			(b,c)	(b,d)	.
Решение. Обозначим вектор [c,d] как f , тогда			в левой части		тождества будет
Решение. Обозначим вектор [c,d] как f , тогда			в левой части		тождества будет
стоять смешанное произведение трёх векторов				([a,b],f ) = (a,b,f ).
Используя инвариантность смешанного произведения относительно аргументов
векторного	и скалярного произведения		внутри него,			получим
(a,b,f ) =	([a,b],f ) = (a,[b,f ]),	в последнем		равенстве		подставим
f = [c,d] и раскроем двойное векторное произведение:

(a,[b,f ]) = (a,[b,[c,d]]) = (a,{c,(b,d) − d(b,c)}) =

= (a,c)(b,d) − (a,d)(b,c)	,

что равно значению определителя в правой части тождества после его
раскрытия.

Задачи для самостоятельного решения.

4.1.В декартовом базисе {i, j,k} вычислить векторные произведения [i, j],

[j,k ], [k, i], [j, i], [k, j], [i,k].

вершинами

4.2.

Найти

площадь

треугольника

ABC с

A(−1,

2),

B(1,

− 2,

5) ,

C(3,

− 4) .

c с

4.3.

Определить,

какую ориентацию имеет тройка векторов a,

компонентами

правом

декартовом

базисе

a = (1,

2),

b = (2, 1, 1),

c = (1, − 2, 3).

4.4.

Найти объём тетраэдра

ABCD, вершины которого в декартовом базисе

имеют

координаты

A(x1,

y1,

z1 ),

B(x2 ,

y2 ,

z2 ),

C(x3,

y3 ,

z3 ) и D(x0 ,

, z0 ) .

сил

F1 = (2,

6),

4.5.

Даны

компоненты

векторов

F2 = (1,

− 2,

3) и

(1,

− 7),

приложенных в одной точке

A(3,

− 4,

8).

Определить

величину

направление

момента

результирующей этих сил относительно точки B(4,

− 2,

6).

векторы

4.6.

Даны

произвольные векторы: a,

c ,

x .

Доказать,

что

F1 = [a, x], F2

= [b, x] и F3 = [c, x].

4.7.

Даны

вершины

треугольника

A(1; −1; 2),

B(5; − 6; 2)

C(1; 3; −1). Вычислить длину его высоты,

опущенной из вершины B

на сторону

AC .

вершин

тетраэдра

4.8.

Известны

координаты

ABCD:

A(0,

− 2,

5),

B(6,

0),

C(3,

− 3,

6) и

D(2,

−1,

3).

Найти длину

высоты этого тетраэдра, опущенную из вершины C .

4.9.

Даны

вершины

тетраэдра:

A(2, 3, 1),

B(4, 1, − 2),

C(6, 3, 7),

D(− 5, − 4, 8).

Найти длину его высоты, опущенной из вершины D .

4.10. Объём

тетраэдра

V = 5,

три

его

вершины

находятся

точках

A(2, 1, −1),

B(3, 0, 1),

C(2, − 1, 3).

Найти

координаты

четвёртой

вершины

D ,

если известно, что она лежит на оси

4.11.

Доказать,

что четыре точки

A(1, 2, − 1),

B(0; 1; 5), C(−1, 2, 1),

D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.

4.12. Даны	вершины треугольника			A(2, -1, - 3),				B(1, 2, - 4)			и
C(3, -1, - 2). Вычислить координаты вектора x ,								коллинеарного с его
высотой, опущенной из вершины				A	на противоположную сторону,						при
условии, что вектор x		образует с осью				Oy тупой угол и что его модуль
равен 2	34 .						приведены к общему началу.
4.13. Три некомпланарных вектора			a,	b,		c	приведены к общему началу.
Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов,
перпендикулярна к вектору [a,b]				+ [b,c]+ [c,a].
4.14. Неизвестный вектор x		удовлетворяет следующей системе уравнений, где
некомпланарные векторы a,			b,	c	и		числа p,	q,	s	считаются
известными:


		(x,a) = p
		(x,b) = q
		(x,c) = s.					c и числа p,
Выразить вектор x через векторы				a,		b,	c и числа p,			q, s .
4.15. Доказать векторные тождества:

1)(a,b,c)2 + [[a,b],c] 2 = [a,b] 2 × c 2 ;

2)[[a,b],[c,d]] = c × (a,b,d) - d × (a,b,c);

3)([a,b],[b,c],[c,a]) = (a,b,c)2 ;

4)[a,[b,c] ]+ [b,[c,a] ]+ [c,[a,b] ] = 0 ;

3)[a,[b,[c,d]] ] = [a,c]× (b,d) - [a,d]× (b,c);

4)[a,b]2 ×[a,c]2 - ([a,b],[a,c])2 = a2 × (a,b,c)2 .

Глава 3 Прямые линии и плоскости

		5. Прямая линия на плоскости
Прямая линия		L на плоскости в декартовой системе координат (x, y)
задаётся в общем виде уравнением первой степени						Ax + By + C = 0,					где
коэффициенты A и		B не равны нулю одновременно.				Уравнение общего вида
путём элементарных преобразований может быть представлено как уравнение
прямой с угловым коэффициентом				y = kx + b или как уравнение прямой в
отрезках	x a + y b = 1, где a		и	b есть алгебраические, т.е.					с учётом знака,
длины отрезков, отсекаемых данной прямой на координатных осях (Рис.10а).
С использованием аппарата векторной алгебры уравнение прямой на плоскости
может быть записано в параметрическом виде r = r0 + at ,									где	r = (x, y)
описывает радиус-вектор точки			на прямой,		r0 = (x0 , y0 )			есть		двумерный
вектор,	задающий	начальную	точку на		прямой,		a = (ax			, ay )	есть
направляющий вектор прямой,			а	параметр t	пробегает		всю		числовую		ось
(Рис.10б).

Рис.10. Расположение элементов на плоскости при записи уравнения прямой (а) в отрезках и (б) в векторном виде с направляющим вектором

Исключая параметр t из	уравнения		прямой, его можно записать в
каноническом виде	x − x0		y − y0

		=		.

	ax		ay

Если известны координаты двух точек

r1 = (x1, y1)

и r2

= (x2 , y2 ) , через

которые проходит прямая, то её направляющий вектор можно задать в виде

a = r2 − r1

, что позволяет записать уравнение прямой, проходящей через две

данные точки, в виде

− x1

y − y1

− x1

y2 − y1 .

n к данной прямой её

Кроме того, при использовании нормального вектора

уравнение в векторном виде может быть записано

как

((r − r0 ),n) = 0 ,

называемом уравнением прямой в нормальном виде.

Поскольку (r0 ,n) = D

есть постоянное

число,

уравнение прямой в нормальном виде также

записывают как

(r,n) = D .

заданными

уравнениями

угловым

Угол

ϕ между

двумя прямыми,

коэффициентом

y1 = k1x + b1

y2 = k2 x + b2 ,

может

быть

найден

из

выражения

tanϕ = (k2 − k1)

(1 + k1k2 ) . Сравнивая уравнения

прямых

угловым коэффициентом и уравнения тех же прямых в общем виде,

последнем

случае

угол

между

прямыми

находим

виде

tanϕ = ( A1B2

− A2 B1)

( A1A2 + B1B2 ) . Отсюда

следует,

что

условием

параллельности

двух

прямых,

эквивалентное обращению в нуль числителя

последнего

выражения,

является

пропорциональность

коэффициентов:

A1 A2 = B1 B2 ,

условие

перпендикулярности

прямых

вытекает

из

обращения в нуль знаменателя и имеет вид A1 A2 + B1B2 = 0.

Если зафиксировать точку прямой (x0 , y0 ) ,

то в уравнении прямой с

угловым коэффициентом

y − y0 = k(x − x0 ) можно изменять параметр

k ,

определяющий тангенс наклона прямой к оси абсцисс.

В этом случае говорят о

пучке прямых,

проходящих через центр пучка (x0 , y0 ) . Если даны две

пересекающиеся прямые с уравнениями

с A1,2 x + B1,2 y + C1,2

= 0, то пучок

прямых, проходящих через точку их пересечения, может быть задан с помощью

двух параметров α

β как

α ( A1x + B1 y + C1) + β ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0.

Расстояние от точки M (x1, y1) до прямой L , заданной уравнением общего вида Ax + By + C = 0, определяется по формуле

dML =

Ax1 + By1 + C

A2 + B2

являющейся координатной записью результата вычисления этого расстояния в

векторном виде

(r1

− r0 ),n

dML =

где прямая L задана в виде ((r − r0 ),n)

0 , а r1

есть радиус-вектор точки

M (рис.11).

Рис.11. Нахождение расстояния от точки до прямой линии.


Пример 1.	На плоскости		даны точки		L(−6, 0)		и	N (0, 8) .		Записать
уравнение прямой, проходящей через середину отрезка							LN и отсекающей на
оси Ox втрое больший отрезок,				чем на оси Oy .						требуется
Решение.	В уравнении прямой в отрезках					x a + y b = 1
определить два параметра a			и	b . По условию задачи				a = 3b ,	кроме того,
уравнению	удовлетворяют		координаты		точки	M (−3, 4) ,			являющейся
серединой	отрезка	LN .		Следовательно,		мы		имеем		уравнение
− 3 3b + 4 b = 1 на параметр				b , откуда находим b = 3				и a = 9 . Уравнение
искомой прямой имеет вид x 9 + y 3 = 1, или x + 3y − 9 = 0 .

Пример 2. При каком необходимом и достаточном условии прямые L1 и L2 ,
заданные на плоскости векторными уравнениями	r = r1 + a1 t и r = r2 + a2 t
а) пересекаются в единственной точке;

б) параллельны, но не совпадают; в) совпадают.

Решение. Для первого случая необходимым и достаточным является неколлинеарность направляющих векторов прямых a и a , тогда на плоскости прямые пересекутся в одной точке (рис.12а). 1Для второго2 случая, следует потребовать коллинеарности направляющих векторов, при этом единственным условием, обуславливающим несовпадение прямых, является неколлинеарность вектора r1 − r2 и направляющего вектора a1 = a2 = a

(рис.12б). Наконец, для полного совпадения прямых необходимо и достаточно

достижение коллинеарности их направляющих векторов и коллинеарность вектора r1 − r2 с направляющим вектором a1 = a2 = a (рис.12в).

Рис.12. Различные случаи взаимного расположения прямых в примере 2.

Пример 3. На плоскости даны координаты

вершин треугольника PQR :

P(0, 5) ;

Q(−3, 1) ;

R(1, − 2) .

Найти

длину

высоты

треугольника,

опущенной из вершины

до прямой L ,

Решение. Искомая длина есть расстояние от точки R(1, − 2)

проходящей через точки

P(0, 5)

и Q(−3, 1) ,

и описываемой уравнением

x − 0

y − 5

− 3 − 0

1 − 5

или 4x − 3y + 15 = 0. Используя упомянутую выше формулу для расстояния

от точки до прямой,

находим

dRL =

4 ×1 - 3 × (-2) +15

= 5,

42 + (−3)2

т.е. длина высоты h = 5.

Пример 4. Найти расстояние dML

от точки

M с

радиус-вектором r0 до

прямой L , заданной в нормальной форме уравнением (r,n) = D .

Решение. Опустим из точки M

перпендикуляр на прямую

L , пересекающий

её в точке

M1 .

Очевидно,

требуется

найти

длину

перпендикуляра

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.03.20162.08 Mб17karmannaya-knizhka-poterpevshego-2009.pdf
#
11.03.2016380.62 Кб8Karnap_Overcoming_Of_Metaph.pdf
#
23.11.2019319.49 Кб3KARTA_SESTR_NABLYuDENIYa.doc
#
27.03.2015854.53 Кб18Kharevich.doc
#
27.03.20151.78 Mб23Khengeyokay_-_Perevertyshi_Vostoka.doc
#
27.03.20152.45 Mб54Khomitsky_Metodichka_AnGeometry.pdf
#
27.03.201537 Кб3Khoz_pravo_33-48.docx
#
27.03.2015332.98 Кб6kiap-dnev-sfo-up-sistema-gos-i-mun-upravleniya.pdf
#
27.03.201554.8 Кб8kiap-dnev-spec-psz-mun-pravo.docx
#
11.11.201952.41 Кб1kiap-dnev-spec-psz-region-adm-otvetst.docx
#
11.11.2019123.9 Кб3kiap-dnev-spec-psz-sistema-gos-i-mun-uprav.doc